Bachiller

Métodos de integración
Integración por partes
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamoscomo u y se repite el proceso n veces.
Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

Integrales por sustitución o cambio de variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nuevavariable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Cambios de variables usuales
1.
2.
3.
4.
5. En las funcionesracionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.
6. Si es par:
-------------------------------------------------

7. Si no es par:
-------------------------------------------------

Integrales racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que deldenominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:
1º Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son númerosque que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

2º Integrales racionales con raíces reales múltiples
La fracción puede escribirse así:

3º Integrales racionales con raíces complejas simples
La fracción puede escribirse así:

Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente.

Parte 2
Métodos de integración (Integral cambio de variable)

Métodos de integración
La integración tiene algunos métodos, llamados técnicas de integración que permiten reducir ciertas integrales a otra ya conocidas (la tabla). Entre esas técnicas se tiene el cambio de variable que se estudia a continuación.

1.- Cambio de Variable o Sustitución
Esta técnica no es otra cosa que  la regla de la cadena de   las integrales. Locual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su  integral.
∫f(gx) g!x dx = F(gx) + C

 

Ejercicios 

Guía con más ejercicios.(click aquí)

Integración por partes

El método deintegración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación

d(u.v) = u dv + v du

por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.

∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du   (se integra en ambos lados de la fórmula)

(u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral)

∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmulade  la integración por partes)

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera

1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar,
2.- En u deben ir  aquellas...