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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

8

LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto A = (2,3 ) , tiene
su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus
asíntotas es la recta 2y − 7 x = 0 .
Solución:
Sean
Si

‹ 1 y ‹ 2 asíntotas de la hipérbola H .

‹ 1: 2y − 7 x = 0 ! ‹ 2 : 2y + 7 x = 0

Luego :
!

H : (2y − 7x )(2y + 7 x ) = k ! H : 4y 2 − 7x 2 = k → !

Pero :
En

A = (2,3 ) ∈

!: H :

H ! 36 − 28 = k ! k = 8

4y 2 − 7 x 2 = 8 !

H:

y2 x2
−
=1
2 87

59

Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA

Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en V = (0,±7 ) y e = 4 3 .
Solución:

H:

De los datos se deduce :
Si :

y2
a2

−

x2
b2

=1

V = (0, ± 7 ) = (0, ± a ) ! a = ±7Además :

e=

c 4
4
784
=
! c = × a ! c2 =
a 3
3
9

Luego : b 2 = c 2 − a 2 =

H:

Por lo tanto :

343
784
− 49 ! b 2 =
9
9
y2
x2
−
=1
49 343 9

H : 9x 2 − 7 y 2 = 343
Dada la ecuación de la hipérbola x 2 − 4 y 2 = 4 , hallar las coordenadas de
los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la
excentricidad y la longitud de la cuerdanormal (lado recto).
Solución:

H : x 2 − 4y 2 = 4 ! H :

Sabemos :

x2 y2
−
=1
4
1

De donde :
! a 2 = 4 ! a = ±2

! b 2 = 1 ! b = ±1

! c 2 = a2 + b2 = 4 + 1 = 5 ! c = ± 5
Vértices :

V = (± a,0 ) = (± 2,0 )

(

Focos : F = (± c,0 ) = ± 5 ,0
Excentricidad :

60

e=

c
a

!

)
e=

5
2

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Cuerda Normal : CN =

2b 22 ×1
=
=1
a
2

Eje Transverso :

2a = 4

Eje Conjugado :

2b = 2

Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos F1 = (− 1,1) y F2 = (5,1)
y un vértice en V = (0,1) .
Solución:

61

Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA

Sabemos :

F1 F2 = 2c = 6 ! c = 3 ! c 2 = 9


! C = (h,k ) ! 

Ahora :

h=2

! C = (2,1)

k =1

! a = CV = 2 ! a 2 = 4
! c 2 = a 2 + b2 ! 9 = 4 + b2 !b2 = 5
Por lo tanto :

H:

(x − h)2 − (y − k )2

=1

H:

(x − 2)2 − (y − 1)2

=1

a2

4

b2

5

Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los
puntos F1 = (3,4 ) y F2 = (3,−2 ) y su excentricidad es igual a 2.
Solución:

! C = (h,k ) ! 


h=3
k =1

! C = (3,1)

Luego : c = F1C = CF2 = 3
9
3
c
=2 ! a=
! a2 =
4
2
a
27
9
! b2 =Sabemos que : b 2 = c 2 − a 2 = 9 −
4
4
Además : e =

Por lo tanto :

62

H:

(y − k )2 − (x − h)2

=1

H:

(y − 1)2 − (x − 3)2

=1

a2

94

b2

27 4

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la
elipse: x 2 100 + y 2 64 = 1 . Y las directrices pasan por los focos de esta
elipse.
Solución:En la elipse :

õ:

x2 y2
+
=1
100 64

! a 2 = 100 ! a = ±10

! b 2 = 64 ! b = ±8

! b 2 = a 2 − c 2 ! c 2 = a 2 − b 2 = 100 − 64 = 36 ! c = ±6
De donde : F = (± c,0) = (± 6,0)
En la hipérbola :

H:

x2
a2

−

y2
b2

=1

Por condición del problema, obtenemos el valor de c en la hipérbola
a partir del valor de a en la elipse.
! c = ±10 ! c 2 = 100

63

Capítulo8. LA HIPÉRBOLA

La ecuación de la directriz de la hipérbola :
!

x=±

a
a2
a2
=
=±
ca
c
10

→

x=±

a
e

!

Por condición del problema : x = c ; donde c es un valor obtenido
en la elipse.
Luego en

!:

a 2 = 60

Seguido : b 2 = a 2 − c 2
Por lo tanto :

H:
H:

64

! b 2 = 100 − 60 ! b 2 = 40
x2
a2

−

y2
b2

=1

x2
y2
−
=1
60 100PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Dada la ecuación de la hipérbola: (x − 4 )2 16 − y 2 128 = 1 , encontrar las
coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones
de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
Si

(x − 4)2 −

H:

16

y2
= 1 →
128

!

se deduce que C = (h,k ) = (4,0 )
Además :
! a 2 = 16 ! a...