Bachiller

Método de Gauss


Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamosen una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.


Es esencialmente el método de reducción. En el métodode Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una mismacolumna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.


[editar] Ejemplo


La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:


\left\{ \begin{array}[c]{ccc} x \, + \, y \, +\, z & = & ~~3 \\ x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1 \\ x \, - \, y \, - \, z & = & -1 \end{array} \right.


es:


\left( \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~1 & ~~1 & -1 \\ ~~1 &-1 & -1 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ ~~1 \\ -1 \end{array} \right)


Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:


\left( \left. \begin{array}[c]{ccc}~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \\ ~~0 & -2 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -2 \\ -4 \end{array} \right)


Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera ysegunda ecuación la primera.


Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:


\left( \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 &~~1 & ~~1 \\ ~~0 & -2 & -2 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -4 \\ -2 \end{array} \right)


que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:


\left\{...