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ECUACION DE RECIPIENTES DE PARED GRUESA.

1) PLANTEANDO EL EQUILIBRIO:

σr+ dσrdrdrr+drdθdz-σrrdθdz-2σsendθ2drdz=0

Aclaración:
Tensión y Área:

A) Como dθ≪es muy pequeño, entoncessendθ2=dθ2
(σrr+ dσrdrdr r+drσr+ dσrdr dr)dθdz-σrrdθdz-2σθdθ2drdz=0

B) Factor Común:

(σrr+ dσrdrdr r+drσr+ drdσrdr dr-σrr –σθdr)dθdz=0
dσrdrdr r+drσr+ drdσrdr dr–σθdr=0

C) Despreciando lasinfinitésimos de segundo orden:

dσrdrdr r+drσr=σθdr

σθ=dσrdrdr r+drσrdr

σθ=rdσrdr+ σr ECUACIÓN 1: Esta ecuación da una relación en σr y σθ

2) ELEMENTO CILÍNDRICO POLAR DE UN CILINDRO DEPARED GRUESA (ANTES Y DESPUÉS DE LA DEFORMACIÓN)

Hay que obtener una segunda relación de la deformación del cilindro, para ello hay que suponer que la deformación longitudinal de todas lasfibras es igual, por lo tanto la deformación es simétrica respecto del eje y por lo tanto existe un desplazamiento radial de todos los puntos de la pared del cilindro. Dicho desplazamiento es constanteen la dirección circunferencial θ, pero varia con la distancia r (radio).

Aclaraciones
= Desplazamiento radial de una superficie cilíndrica de radio “r”.

δr+∂δr∂rdr= Desplazamiento radialde una superficie r + dr.
εr = elongación unitaria en la dirección radial “r”.
εθ = elongación unitaria en la dirección circunferencial “θ".







Según el esquema anterior:
εr=δr+∂δr∂rdr- δrdr= δr+∂δr∂rdr- δrdr=∂δr∂r
εr=r+δrdθ-rdθrdθ= rdθ+δrdθ -rdθrdθ=r+δr-rdθrdθ=δrr

Aclaraciónes:
r + δr= δθ (según la figura)
rdθ (Distancia de un arco cuyo radio es r y ángulo esdθ)

LEY DE HOOKE
Las deformaciones longitudinales , son proporcionales a las tensones normales que las producen. Hay que observar que el alargamiento debido las tensiones normales , vaacompañado de acortamientos longitudinales en dirección de los otros ejes.

εr=∂δr∂r=σr- νσθE ECUACIÓN 2
εθ=δrr=σθ- νσrE ECUACIÓN 3

Con las ecuaciones 2 y 3 se pueden obtener las tensiones...