Bachiller

Terceras Jornadas Investigaciones en la Facultad de Ciencias Económicas y Estadística, octubre de 1998

ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER. ORDEN. APLICACIÓN DE DERIVE A
LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA MICROECONÓMICO QUE RELACIONA EL
VOLUMEN DE VENTAS DE UN BIEN Y EL PRECIO.
Furno, Graciela
Koegel, Liliana
Sagristá, Ricardo
Departamento de Matemática, Escuela de Estadística

INTRODUCCIÓN
Enmuchas situaciones, es preferible establecer las relaciones entre dos o más variables como razones de cambio entre las mismas. Si la variable con respecto a la cual se consideran los cambios es discreta, se trabaja con ecuaciones en diferencias. Cuando se considera que los cambios de
la variable en cuestión se producen en forma continua o instantánea, las razones de cambio se presentan comoderivadas y las ecuaciones que las contienen son las ecuaciones diferenciales. Una
ecuación diferencial es entonces aquélla que incluye derivadas de una o más funciones incógnitas.
Recordemos que las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar teniendo en cuenta su tipo, orden
y grado.
Si una ecuación diferencial contiene derivadas de una función incógnita a una sola variable
independiente, laecuación diferencial se llama ordinaria; si ella incluye derivadas parciales de una
función incógnita de varias variables independientes, se llama ecuación diferencial en derivadas parciales.
El orden de una ecuación diferencial es el orden máximo de las derivadas que se presentan
en la ecuación.
Si la ecuación diferencial es racional e integrable con respecto a todas las derivadas que figuranen ella, el grado con respecto a la derivada de mayor orden es el grado de la ecuación diferencial.
Veremos una aplicación para ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.

EJERCICIO
La razón de crecimiento del volumen de ventas y a medida que el precio x decrece, es proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional a la diferencia entre el precio x y una
constante b.Resuelva las consignas 1), 2) y 3) con lápiz y papel y con el programa DERIVE.
1) Exprese matemáticamente el problema planteado. Interprete el significado del
parámetro b.
2) Halle la relación entre el volumen de ventas y y el precio x, es decir la solución general.
3) Verifique la solución hallada.
4) Represente gráficamente las curvas integrales, para el parámetro de proporcionalidad
a =2 y el parámetro b = 20.
5) Obtenga la solución particular que satisface y(32) = 1 y represéntela gráficamente.
6) En la solución particular obtenida en 5), asigne distintos valores al parámetro de proporcionalidad
a = 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
manteniendo el parámetro b = 20. Grafique las curvas correspondientes e interprete. Analice qué ocurre si a varía de 100 a 150. Estudie el caso en que a semantiene igual a 2
y
b = 10 20 30 40

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Terceras Jornadas Investigaciones en la Facultad de Ciencias Económicas y Estadística, octubre de 1998

Resolución con papel y lápiz
1) dy / dx = -a y / (x-b)
con a > 0, b > 0 , x-b > 0 ya que las ventas se realizan siempre
que el precio sea superior a b.
2) Resolvamos la ecuación diferencial planteada, que resulta a variables separables.
dy/ y = [-a / (x-b)] dx; integrando,
dy / y = -a dx / (x-b) + C es decir
ln y = - a ln(x-b) + C
ln y + a ln(x-b) = C
a

ln [y(x-b) ] = C
a

y(x-b) = eC = c1

llamando con c1 = eC

despejamos
y = c1 / (x-b)

a

3) Para verificar que la solución encontrada es correcta, derivemos la función y encontrada:
dy / dx = c1 (-a) (x-b)

-a-1

es decir

dy / dx = -a c1 / (x-b)

a+1= [-a / (x-b) ] .c1 / (x-b)

a

= - a y / (x-b)

Resolución con DERIVE
1) Una vez especificada la ecuación diferencial
dy/dx = -a y / (x – b),
notamos que es una ecuación de primer grado y primer orden a variables separables.
DERIVE proporciona métodos de resolución de ecuaciones diferenciales y es muy potente en
ese sentido. Los operadores están en el archivo útil ODE1 y otros....