Bachiller

INTRODUCCIÓN





En este trabajo aprenderemos a diagonalizar una matriz A de T: V( V con respecto a determinada base, usando una matriz de transición de la nueva base a la anterior.De la misma forma diagonalizaremos ortogonalmente una matriz, llevándonos a definir así una matriz muy importante como lo es la matriz simétrica.DIAGONALIZACION

Definición:
Se dice que una matriz cuadrada de A es diagonizable si existe una matriz invertible P tal que P-1AP sea diagonal,y se dice que P diagonaliza ortogonalmente a A.

Si existe una matriz ortogonal P tal que [pic]([pic] es diagonal, entonces A es diagonizable ortogonalmente, y se dice que P diagonalizaortogonalmete a A.

TEORMA # 1:

Si A es una matriz cuadrada, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. A es diagonizable
2. A tiene n vectores característicoslinealmente independientes

Demostración:

(a(b). Como se supone que A es diagonizable, entonces existe una matriz invertible P de n ( n, tal que P-1AP es diagonal; sea D = P-1AP, donde D es lamatriz diagonal n x n con elementos (1, (2, ..., (n en su diagonal principal
entonces, AP = PD .

Supongamos que [pic],[pic],...,[pic] denota los vectores columna de P, entonces,A[pic] = ([pic], A[pic] = ([pic],... A[pic]= ([pic]
Y como A es invertible, sus vectores columnas diferentes de cero, con lo cual A[pic] = ([pic], A[pic] =([pic],... A[pic]= ([pic]
son valores característicos de A y [pic],[pic],...,[pic] sus vectores característicos correspondientes. Así pues P es invertible , siendo [pic],[pic],...,[pic] linealmenteindependientes, por lo tanto A tiene n vectores característicos linealmente independientes.
(b( a). Por otra parte supongamos que A tiene n vectores característicos linealmente independientes...