Bachiller

Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1 Triángulos. 2 Cuadriláteros. 3 Polígonos regulares.

E

sta unidad didáctica trata del estudio de los polígonos (del griego polys= mucho y gonia=ángulo). Aun siendo el triángulo la figura más sencilla, ya que es el polígono de menor número de lados,

es la más importante, puesto que los polígonos decualquier número de lados, incluidos los cuadriláteros, se pueden descomponer en triángulos. De esta forma, pueden utilizarse las construcciones de estos en la resolución tanto de cuadriláteros como de polígonos.

Cúpula del British Museum.

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5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

Desarrollo de contenidos
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TRIÁNGULOS
A Cevianas

1.1. Rectas y puntos notables de untriángulo
Además de los elementos básicos, vértices, lados y ángulos (estudiados el curso anterior), se deben conocer los siguientes elementos notables: • Cevianas. • Mediatrices. Circuncentro. • Bisectrices interiores. Incentro. • Bisectrices exteriores. Exincentros. • Medianas. Baricentro. • Alturas. Ortocentro. Cevianas (Fig. 1) Son los segmentos que unen un vértice con un punto cualquieradel lado opuesto.

B Fig. 1 A

C

Mediatrices Son las mediatrices de los lados. Se cortan en un mismo punto denominado circuncentro (Cc), que es el centro de la circunferencia circunscrita. Dependiendo del tipo de triángulo, el circuncentro se encuentra en el interior si el triángulo es acutángulo (Fig. 2), en el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo (Fig. 3), o en el exterior si esobtusángulo (Fig. 4).

Cc

B

C

Fig. 2 A

B

Cc C A

Cc

B

C

Fig. 3

Fig. 4

5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

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A Tb Wc Tc
wb

Wb

I wa Ta
wc

Bisectrices • Interiores (wa, wb, wc ) (Fig. 5). Las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo se cortan en el punto I, incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.Los segmentos de bisectriz desde el vértice hasta el punto de corte con el lado opuesto se designan por wa=AWa, wb=BWb y wc=CWc.
C

B

Wa Fig. 5

Ib A Ic
Rc

R

b

• Exteriores (Fig. 6). Las bisectrices de los ángulos exteriores del triángulo se cortan, dos a dos, en los puntos Ia, Ib e Ic, centros de las circunferencias tangentes a un lado y a la prolongación de los otros dos. Aestas circunferencias se les denomina exinscritas, de radios Ra, Rb y Rc.

B

C

Ra

Ia Fig. 6

A

AG=2/3 m a , GMa=1/3 m a BG=2/3 m b , GMb=1/3 m b

Medianas (ma , mb , mc ) (Fig. 7) Son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Se cortan en G, llamado baricentro, que es el centro de gravedad, del triángulo. El baricentro divide a las medianas en dospartes, una doble que la otra. Alturas (ha , hb , hc ) Altura es la distancia desde un vértice al lado opuesto del triángulo. Las alturas se dibujan trazando las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto. Las tres alturas se cortan en un punto (H) denominado ortocentro (Fig. 8). Obsérvese que si el triángulo es rectángulo (Fig. 9), el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, y siel triángulo es obtusángulo (Fig. 10), el ortocentro es exterior al triángulo.
B

Mb mc C

ma G

Mc mb

CG=2/3 m c , GMc=1/3 m c

Ma Fig. 7

B

A B hb ha
hc

ha

c=h b
hb

ha

C A C B H=A b=h c

H C

hc

Fig. 8

Fig. 9

H

Fig. 10

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5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

1.2. Relaciones métricas en los triángulos
Relación delos segmentos determinados por los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo Partimos de la circunferencia inscrita al triángulo ABC (Fig. 11), cuyos puntos de tangencia son Ta, Tb y Tc. Los seis segmentos en que los puntos de tangencia dividen a los lados, son iguales dos a dos y suman el perímetro del triángulo, 2p. ATc=ATb, BTc=BTa, CTb=CTa La suma de tres...