bachillerato en compu
Páginas: 13 (3114 palabras)
Publicado: 17 de noviembre de 2013
Capítulo 9. Regresión lineal
simple
9.1 Introducción
Uno de los aspectos más relevantes de la Estadística es el análisis de la relación
o dependencia entre variables. Frecuentemente resulta de interés conocer el
efecto que una o varias variables pueden causar sobre otra, e incluso predecir
en mayor o menor grado valores en una variable a partir de otra. Por ejemplo,
supongamos que laaltura de los padres influyen significativamente en la de los
hijos. Podríamos estar interesados en estimar la altura media de los hijos cuyos
padres presentan una determinada estatura.
Los métodos de regresión estudian la construcción de modelos para explicar
o representar la dependencia entre una variable respuesta o dependiente (Y ) y
la(s) variable(s) explicativa(s) o dependiente(s), X . En esteTema abordaremos
el modelo de regresión lineal, que tiene lugar cuando la dependencia es de tipo
lineal, y daremos respuesta a dos cuestiones básicas:
• ¿Es significativo el efecto que una variable X causa sobre otra Y ? ¿Es
significativa la dependencia lineal entre esas dos variables?.
• De ser así, utilizaremos el modelo de regresión lineal simple para explicar
y predecir la variabledependiente (Y ) a partir de valores observados en
la independiente (X).
Ejemplo 9.1. El inventor de un nuevo material aislante quiere determinar
la magnitud de la compresión (Y ) que se producirá en una pieza de 2 pulgadas
de espesor cuando se somete a diferentes cantidades de presión (X). Para ello
prueba 5 piezas de material bajo diferentes presiones. Los pares de valores
observados (x, y) semuestran en la siguiente tabla:
Pieza
1
2
3
4
5
Presión (x)
1
2
3
4
5
i
Compresión (y)
1
1
2
2
4
ii
CAPÍTULO 9. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
En principio no sabemos si las variables en cuestión están relacionadas o no,
o si en caso de haber dependencia es significativa o no. De haber entre ellas una
dependencia lineal significativa, podríamos expresar la Compresión (Y )a partir
de la Presión (X) mediante una recta, y a partir de ella predecir la compresión
que se daría para un determinado nivel de presión.
Una forma de determinar si puede existir o no dependencia entre variables, y
en caso de haberla deducir de qué tipo puede ser, es gráficamente representando
los pares de valores observados. A dicho gráfico se le llama nube de puntos o
diagrama dedispersión.
Ejemplos de casos que podrían darse:
102
102
99
99
96
96
93
93
90
90
87
0
0,01
0,02
0,03
87
0,87
0,04
a)
10
1,27
1,47
1,67
(X 1000)
1
8
0,8
6
0,6
4
0,4
2
0,2
0
0
0
c)
1,07
b)
2
4
6
8
10
0
12
2
4
6
8
10
d)
En a) hay ausencia de relación (independencia).En b) existe asociación lineal positiva (varían en general en el mismo sentido).
En c) existe asociación lineal negativa (varían en sentido contrario).
En d) existe fuerte asociación, pero no lineal.
9.2 El modelo de regresión lineal
La estructura del modelo de regresión lineal es la siguiente:
Y = β0 + β1X + ε
En esta expresión estamos admitiendo que todos los factores o causas queinfluyen en la variable respuesta Y pueden dividirse en dos grupos: el primero
contiene a una variable explicativa X y el segundo incluye un conjunto amplio de
factores no controlados que englobaremos bajo el nombre de perturbación o error
aleatorio, ε, que provoca que la dependencia entre las variables dependiente e
iii
independiente no sea perfecta, sino que esté sujeta a incertidumbre. Porejemplo,
en el consumo de gasolina de un vehículo (Y ) influyen la velocidad (X) y una
serie de factores como el efecto conductor, el tipo de carretera, las condiciones
ambientales, etc, que quedarían englobados en el error.
Lo que en primer lugar sería deseable en un modelo de regresión es que
estos errores aleatorios sean en media cero para cualquier valor x de X, es decir,
E[ε/X = x] =...
simple
9.1 Introducción
Uno de los aspectos más relevantes de la Estadística es el análisis de la relación
o dependencia entre variables. Frecuentemente resulta de interés conocer el
efecto que una o varias variables pueden causar sobre otra, e incluso predecir
en mayor o menor grado valores en una variable a partir de otra. Por ejemplo,
supongamos que laaltura de los padres influyen significativamente en la de los
hijos. Podríamos estar interesados en estimar la altura media de los hijos cuyos
padres presentan una determinada estatura.
Los métodos de regresión estudian la construcción de modelos para explicar
o representar la dependencia entre una variable respuesta o dependiente (Y ) y
la(s) variable(s) explicativa(s) o dependiente(s), X . En esteTema abordaremos
el modelo de regresión lineal, que tiene lugar cuando la dependencia es de tipo
lineal, y daremos respuesta a dos cuestiones básicas:
• ¿Es significativo el efecto que una variable X causa sobre otra Y ? ¿Es
significativa la dependencia lineal entre esas dos variables?.
• De ser así, utilizaremos el modelo de regresión lineal simple para explicar
y predecir la variabledependiente (Y ) a partir de valores observados en
la independiente (X).
Ejemplo 9.1. El inventor de un nuevo material aislante quiere determinar
la magnitud de la compresión (Y ) que se producirá en una pieza de 2 pulgadas
de espesor cuando se somete a diferentes cantidades de presión (X). Para ello
prueba 5 piezas de material bajo diferentes presiones. Los pares de valores
observados (x, y) semuestran en la siguiente tabla:
Pieza
1
2
3
4
5
Presión (x)
1
2
3
4
5
i
Compresión (y)
1
1
2
2
4
ii
CAPÍTULO 9. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
En principio no sabemos si las variables en cuestión están relacionadas o no,
o si en caso de haber dependencia es significativa o no. De haber entre ellas una
dependencia lineal significativa, podríamos expresar la Compresión (Y )a partir
de la Presión (X) mediante una recta, y a partir de ella predecir la compresión
que se daría para un determinado nivel de presión.
Una forma de determinar si puede existir o no dependencia entre variables, y
en caso de haberla deducir de qué tipo puede ser, es gráficamente representando
los pares de valores observados. A dicho gráfico se le llama nube de puntos o
diagrama dedispersión.
Ejemplos de casos que podrían darse:
102
102
99
99
96
96
93
93
90
90
87
0
0,01
0,02
0,03
87
0,87
0,04
a)
10
1,27
1,47
1,67
(X 1000)
1
8
0,8
6
0,6
4
0,4
2
0,2
0
0
0
c)
1,07
b)
2
4
6
8
10
0
12
2
4
6
8
10
d)
En a) hay ausencia de relación (independencia).En b) existe asociación lineal positiva (varían en general en el mismo sentido).
En c) existe asociación lineal negativa (varían en sentido contrario).
En d) existe fuerte asociación, pero no lineal.
9.2 El modelo de regresión lineal
La estructura del modelo de regresión lineal es la siguiente:
Y = β0 + β1X + ε
En esta expresión estamos admitiendo que todos los factores o causas queinfluyen en la variable respuesta Y pueden dividirse en dos grupos: el primero
contiene a una variable explicativa X y el segundo incluye un conjunto amplio de
factores no controlados que englobaremos bajo el nombre de perturbación o error
aleatorio, ε, que provoca que la dependencia entre las variables dependiente e
iii
independiente no sea perfecta, sino que esté sujeta a incertidumbre. Porejemplo,
en el consumo de gasolina de un vehículo (Y ) influyen la velocidad (X) y una
serie de factores como el efecto conductor, el tipo de carretera, las condiciones
ambientales, etc, que quedarían englobados en el error.
Lo que en primer lugar sería deseable en un modelo de regresión es que
estos errores aleatorios sean en media cero para cualquier valor x de X, es decir,
E[ε/X = x] =...
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