Bairstow
Páginas: 12 (2948 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2011
Ejemplo 1
Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.
Solución.
Iteración 1.
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado
f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}
Aplicando el método de Newtontenemos
-43.875 | 16.75 | | dr | | -30.75 |
108.125 | -43.875 | | ds | | 61.75 |
de donde
r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796
Iteración 2.
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.7363187491427787x2 +7.091061199392814x - 1.776754563401905
Residuo = {51.75640698828836, 105.68578319650365}
Aplicando el método de Newton tenemos
27.628006 | 14.542693 | | dr | | -51.75640 |
208.148405 | 27.62800 | | ds | | -105.68578 |
de donde
r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 = 1.7164010597228012
s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644
Iteración 3.
La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 - 1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.7835989402771988x2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992
Residuo = {12.654716254544885, 28.1881465309956}
Aplicando el método de Newton tenemos
13.83497 | 7.44182 | | dr | | -12.65471 |
65.679212 | 13.83497 | | ds | | -28.18814 |
dedonde
r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486
s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 = 2.4506807689726524
En resumen
k | r | s | Residuo |
0 | -1 | 2 | 30.75 | -61.75 |
1 | 1.76368 | 7.403374 | 51.756406 | 105.68578 |
2 | 1.71640 | 3.93426 | 12.65471 | 28.18814 |
3 | 1.599731 | 2.450680 | 2.89958 | 8.15467 |
4 | 1.33354 | 2.18666 | 0.760122 |2.522228 |
5 | 1.11826 | 2.11302 | 0.271940 | 0.607688 |
6 | 1.02705 | 2.02317 | 0.04313 | 0.11185 |
7 | 1.00165 | 2.00153 | 0.00277 | 0.00634 |
8 | 1.00000 | 2.00000 | 1.13930E-5 | 2.67534E-5 |
La solución es:
f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 y f2(x) = x2 - x - 2
Las raíces de f2(x) = x2 - x - 2, son
x1 = 2
x2 = -1
Si repetimos el ejemplo pero ahoraconsiderando el polinomio f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 , podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.
Ejemplo 2
Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar las raíces de este polinomio. Considere r0 = -1 y s0 = -1.
Paso 1.
f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25
f5(x) =( x3 - 4x2 + 5.25x - 2.5)*( x2 +0.5x- 0.5)
Las raíces de x2 +0.5x - 0.5=0 son
x1 = 0.5
x2 =-1.0
Paso 2.
f3(x) = x3 - 4x2 + 5.25x - 2.5
f3(x) =(x - 2)*(x2 - 2x +1.25)
Las raíces de x2 - 2x +1.25=0 son
x3 = 1.0 + j0.5
x4 =-1.0 - j0.5
Paso 3
f1(x) =(x - 2)
La raíz de este polinomio es
x5 = 2;
Todas la raíces de f5(x) son x = [0.5, 1.0, (1.0 + j0.5), (1 - j0.5), 2]
Método deBairstow
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En análisis numérico, el método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio f_n(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático
y
El procedimiento generalpara el método de Bairstow es:
Dado y y
1.-Utilizando el método de Newton Raphson calculamos y , tal que, el residuo de sea igual a cero.
2.-Se determinan la raíces , utilizando la formula general.
3.-Se calcula
4.-Hacemos
5.-Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
6.-Si no, terminamos
La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite...
Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.
Solución.
Iteración 1.
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado
f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}
Aplicando el método de Newtontenemos
-43.875 | 16.75 | | dr | | -30.75 |
108.125 | -43.875 | | ds | | 61.75 |
de donde
r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796
Iteración 2.
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.7363187491427787x2 +7.091061199392814x - 1.776754563401905
Residuo = {51.75640698828836, 105.68578319650365}
Aplicando el método de Newton tenemos
27.628006 | 14.542693 | | dr | | -51.75640 |
208.148405 | 27.62800 | | ds | | -105.68578 |
de donde
r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 = 1.7164010597228012
s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644
Iteración 3.
La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 - 1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.7835989402771988x2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992
Residuo = {12.654716254544885, 28.1881465309956}
Aplicando el método de Newton tenemos
13.83497 | 7.44182 | | dr | | -12.65471 |
65.679212 | 13.83497 | | ds | | -28.18814 |
dedonde
r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486
s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 = 2.4506807689726524
En resumen
k | r | s | Residuo |
0 | -1 | 2 | 30.75 | -61.75 |
1 | 1.76368 | 7.403374 | 51.756406 | 105.68578 |
2 | 1.71640 | 3.93426 | 12.65471 | 28.18814 |
3 | 1.599731 | 2.450680 | 2.89958 | 8.15467 |
4 | 1.33354 | 2.18666 | 0.760122 |2.522228 |
5 | 1.11826 | 2.11302 | 0.271940 | 0.607688 |
6 | 1.02705 | 2.02317 | 0.04313 | 0.11185 |
7 | 1.00165 | 2.00153 | 0.00277 | 0.00634 |
8 | 1.00000 | 2.00000 | 1.13930E-5 | 2.67534E-5 |
La solución es:
f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 y f2(x) = x2 - x - 2
Las raíces de f2(x) = x2 - x - 2, son
x1 = 2
x2 = -1
Si repetimos el ejemplo pero ahoraconsiderando el polinomio f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 , podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.
Ejemplo 2
Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar las raíces de este polinomio. Considere r0 = -1 y s0 = -1.
Paso 1.
f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25
f5(x) =( x3 - 4x2 + 5.25x - 2.5)*( x2 +0.5x- 0.5)
Las raíces de x2 +0.5x - 0.5=0 son
x1 = 0.5
x2 =-1.0
Paso 2.
f3(x) = x3 - 4x2 + 5.25x - 2.5
f3(x) =(x - 2)*(x2 - 2x +1.25)
Las raíces de x2 - 2x +1.25=0 son
x3 = 1.0 + j0.5
x4 =-1.0 - j0.5
Paso 3
f1(x) =(x - 2)
La raíz de este polinomio es
x5 = 2;
Todas la raíces de f5(x) son x = [0.5, 1.0, (1.0 + j0.5), (1 - j0.5), 2]
Método deBairstow
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En análisis numérico, el método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio f_n(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático
y
El procedimiento generalpara el método de Bairstow es:
Dado y y
1.-Utilizando el método de Newton Raphson calculamos y , tal que, el residuo de sea igual a cero.
2.-Se determinan la raíces , utilizando la formula general.
3.-Se calcula
4.-Hacemos
5.-Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
6.-Si no, terminamos
La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite...
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