Bill gates

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Introducción
Un problema de optimización dinámica, consiste en un problema de dinámica que al resolverlo se obtienen distintas trayectorias en función del tiempo, y de esas trayectorias (variables de decisión) elegimos la óptima (máximo o mínimo según elobjetivo del problema).
Cuando se estudia el comportamiento de una variable a lo largo del tiempo tenemos una trayectoria que indica cuál es elvalor que toma la variable en estudio para cada valor de la variable tiempo. Nos interesa encontrar aquella trayectoria que constituya el camino óptimo.
El estudio se puede considerar para cada intervalo de tiempo o para cada instante, según se esté trabajando con variable discreta o con variable continua, dentro de un período planificado. Es incluso posible considerar un intervalo de tiempoinfinito.
Aunque la dinámica es expresada en términos de una secuencia de tiempos, es posible plantear el problema como una secuencia de etapas. Por ejemplo, supongamos una empresa productora que transforma un producto desde un estado inicial A hasta un estado final Z, a través de 5 etapas en el proceso productivo. En cada etapa la firma tiene el problema de elegir entre distintas alternativas delsubproceso donde cada una tiene su costo específico. La cuestión es como seleccionar la secuencia de subprocesos de manera de minimizar el costo total.
En la figura, se ve que de A se puede pasar a B con un costo de 2, o a C con un costo de 4. Una vez tomada la decisión nos encontraremos con otra disyuntiva (en la etapa 2).
Nuestro problema consiste en elegir la secuencia que determine el costomínimo (camino óptimo). En este ejemplo se puede encontrar el camino óptimo fácilmente considerando todos los caminos posibles y viendo con cual se obtiene el menor costo total.

Se observa que al comenzar resulta mas conveniente pasar de A a B donde el costo es 2, que de A a C donde el costo es 4. Sin embargo, si llegamos a B, tenemos que elegir el camino más económico que es pasar a E con uncosto de 5, luego a H con un costo de 3, a J con un costo de 4 y a Z con costo 1. En total el costo del camino ABEHJZ es de 15. El criterio usado fue, en cada opción elegir la inmediata más económica. Este no es el camino más económico, se debe averiguar el costo total mínimo. Es decir se planifica todo el período, y se observa que el camino ACEHJZ, cuyo costo es 14, es el camino óptimo.
Elproblema presentado es muy sencillo, tiene solamente cinco estados intermedios entre el estado inicial A y el final Z. Su resolución se logra calculando todos los caminos posibles y eligiendo el de menor costo.
No siempre podemos hacer un análisis de esta manera, ya que en problemas más complicados con un gran número de etapas y/o con una variedad de alternativas a considerar en cada subprocesosería muy tedioso. Si la variable es continua tenemos infinitas etapas en el intervalo planificado y se hace necesario usar otros métodos para determinar el camino óptimo.

Caracterización de un problema de optimización dinámica
Todo problema típico de optimización dinámica, independientemente de que sea con variable discreta o continua tiene las siguientes características:
1. Un punto inicial yun punto terminal dados.(*)
2. Un conjunto de caminos admisibles que unan el punto inicial con el punto terminal.
3. Un objetivo específico (maximizar o minimizar un valor) para elegir el camino óptimo.
(*) Es usual conocer, en un plan de optimización el estado inicial pero no siempre ocurre lo mismo con el punto terminal.
Cuando se plantean matemáticamente los distintos tipos de problemas deoptimización dinámica se utilizan generalmente el cálculo de variaciones y la
programación dinámica, dependiendo si trabajamos con variables continuas o discretas.
En el presente trabajo trataremos un problema con variable continua en el que
utilizaremos el cálculo de variaciones.

El concepto de funcional
Consideremos ahora el problema de un monopolista que produce un determinado bien X,...
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