Binarios

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Propiedades de las operaciones binarias
En álgebra las operaciones binarias interna en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A:

son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en laaxiomatización de los diversos sistemas matemáticos, en palabras de Birkhoff.
Contenido  [ocultar]  * 1 Conmutatividad * 1.1 Ejemplos * 1.2 Anticonmutatividad * 2 Asociatividad * 2.1 Ejemplos * 3 Distributividad * 4 Simplificación * 4.1 Divisores del cero * 5 Elementos distinguidos * 5.1 Elemento neutro * 5.2 Elemento simétrico * 5.3 Elementoinvolutivo * 5.4 Elemento absorbente * 6 Operación inversa * 7 Véase también * 8 Referencias * 9 Bibliografía |
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[editar]Conmutatividad
Véase también: Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *:

se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Paratodo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es conmutativa en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a.
[editar]Ejemplos
* La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales,reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo cualquier conjunto indicado
* La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos (1).
* La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para 1 y -1.
* el producto de dos matrices cuadradas de orne n no es cnmutativo.
* El producto cartesiano de dosconjuntos no es conmutativo, AxB≠ BxA.
[editar]Anticonmutatividad
La operación * en A es anticonmutativa si:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.
* Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:

se tiene con el producto vectorial :

y

en general, para cualquier par de vectores a, b:* Para los enteros , se ve que la sustracción

es anticonmutatava, pues si:

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[editar]Asociatividad
Véase también: Propiedad asociativa.
Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:

Se dice que * es asociativa si, solo si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual aoperar a con el resultado de operar b con c.
También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:

Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de operar a con el resultado de operar b conc.
[editar]Ejemplos
* La adición y la multiplicación con números pares son asociativas.
* La sustracción en el conjunto Z de los enteros no esasociativa
* La adición en el conjunto Z[i] es asociativa
* el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw ≠ ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.
* Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R. (α)
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[editar]Distributividad
Véasetambién: Propiedad distributiva.
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:

Que expresaremos , se dice que la operación  es distributiva por la derecha de  si se cumple:

* Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectoresux(v+ w) =uxv + uxw
* Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)=...