Binomio de Newton y triángulo de Pascal
Páginas: 2 (316 palabras)
Publicado: 30 de noviembre de 2015
Binomio de Newton y triángulo de Pascal
Dificultad:
Binomio de Newton
El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello seemplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. La fórmula general del binomio de Newton dice:
(a+b)n=(n0)an+(n1)an−1b+(n2)an−2b2+…+(nn−1)abn−1+(nn)bn
Los números combinatorios que aparecen en la fórmula son precisamente los llamados coeficientes binomiales.
Ejemplo
Por ejemplo:(a+b)4==(40)a4+(41)a3b+(42)a2b2+(43)ab3+(44)b4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(En el caso en que en el binomio figure un signo menos, los signos del desarrollo deben irse alternando de la forma + − + − + − …)
Triángulo dePascal
Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios (aunque en algunos textos esta idea se atribuye a Tartaglia):
11151413101261310141511
El método recibe el nombrede triángulo de Pascal y se construye de la siguiente forma ( por filas y de arriba a abajo): - En el vértice se coloca un 1. - Cada fila empieza y acaba en 1. - Los otros números dela fila son siempre la suma de los dos que tiene justo encima.
Ejemplo
La última fila, por ejemplo, nos daría el valor de los números combinatorios consecutivos:(50),(51),(52),(53),(54),(55)
El término general del desarrollo de (a+b)n viene dado por la fórmula
(nk)an−kbk
Ejemplo
Según esto, en el primer ejemplo tendríamos que el tercer término sería (para k=2,ya que la serie empieza siempre por k=0):
(42)a2b2=6a2b2
Esta fórmula permite calcular el valor de un término cualquiera sin necesidad de efectuar todo el desarrollo.
Ejemplo
Porejemplo, para calcular el 20º término del desarrollo de (x+y)30. Aplicando la fórmula:
(3019)x30−19y19=54627300x11y19
VER EJERCICIOS DE: BINOMIO DE NEWTON Y TRIÁNGULO DE PASCAL
Dificultad:
Binomio de Newton
El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello seemplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. La fórmula general del binomio de Newton dice:
(a+b)n=(n0)an+(n1)an−1b+(n2)an−2b2+…+(nn−1)abn−1+(nn)bn
Los números combinatorios que aparecen en la fórmula son precisamente los llamados coeficientes binomiales.
Ejemplo
Por ejemplo:(a+b)4==(40)a4+(41)a3b+(42)a2b2+(43)ab3+(44)b4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(En el caso en que en el binomio figure un signo menos, los signos del desarrollo deben irse alternando de la forma + − + − + − …)
Triángulo dePascal
Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios (aunque en algunos textos esta idea se atribuye a Tartaglia):
11151413101261310141511
El método recibe el nombrede triángulo de Pascal y se construye de la siguiente forma ( por filas y de arriba a abajo): - En el vértice se coloca un 1. - Cada fila empieza y acaba en 1. - Los otros números dela fila son siempre la suma de los dos que tiene justo encima.
Ejemplo
La última fila, por ejemplo, nos daría el valor de los números combinatorios consecutivos:(50),(51),(52),(53),(54),(55)
El término general del desarrollo de (a+b)n viene dado por la fórmula
(nk)an−kbk
Ejemplo
Según esto, en el primer ejemplo tendríamos que el tercer término sería (para k=2,ya que la serie empieza siempre por k=0):
(42)a2b2=6a2b2
Esta fórmula permite calcular el valor de un término cualquiera sin necesidad de efectuar todo el desarrollo.
Ejemplo
Porejemplo, para calcular el 20º término del desarrollo de (x+y)30. Aplicando la fórmula:
(3019)x30−19y19=54627300x11y19
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