Binomio de Newton

Sabemos que:

(a+b)º = 1
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3; porque (a+b)3= (a+b)2 (a+b)
(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3 + b4; porque (a+b)4= (a+b)3 (a+b)
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2 b3+5ab4 + b5; porque (a+b)5= (a+b)4 (a+b)
(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3 b3+15a2 b4 +6ab5+b6 ; porque (a+b)6= (a+b)5 (a+b)

De los anteriores desarrollos se observa:

1.- El número de términos de cada desarrollo corresponde al exponente del binomio más 1

2.- La potencia del primer término es igual a la potencia del binomio, y en cada término posterior se reduce en 1.

3.- La potencia del segundo término del binomio inicia en cero en el primer término del desarrollo, (que equivale a 1) aumentando en 1 en los sucesivos.

4.- El coeficiente del primer término es 1 y el del segundo término es igual a la potencia del binomio.

5.- El coeficiente de un término cualquiera se obtiene multiplicando los exponentes del primer términodel binomio de todos los términos anteriores al de ese término cualquiera y se divide dicho producto entre el factorial del número de términos considerados, multiplicado por los exponentes del segundo término del binomio de todos los términos anteriores al de ese término.

6.- El último término del desarrollo es igual al segundo término elevado a la potencia del binomio.
Lo anterior nos permite desarrollar un binomio cualquiera a cualquier potencia.

Ejemplo 1:

(4a+2b)4 = (4a)4+4(4a)3(2b)+6(4a)2(2b)2+4(4a)(2b)3+(2b)4
= 256a4+4(64a3)(2b)+6(16a2)(4b2)+4(4a)(8b3)+16b4
= 256a4+512a3b+384a2b2+128ab3+16b4

Ejemplo 2:

(2x+3y)5

Utilizando el desarrollo de Newton tenemos.

(2x+3y)5 = (2x)5+5(2x)43y+10(2x)3(3y)2+10(2x)2 +(3y)3+5(2x) (3y)4+(3y)5
=32x5+5(16x4)(3y)+10(8x3)(9y2)+10(4x2)(27y3)+5(2x)(81y4)+(243y5)
=32x5+240x4y+720x3y2+1080x2y3+810xy4+243y5

Ejemplo para obtener los coeficientes de un binomio de 6º

6 = 6
1! (1)

6 x 5 = [continua]

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