Binomio de newton

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BINOMIO DE NEWTON

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener

Para ello veamos como se vandesarrollando las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los númeroscombinatorios desde los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los númerosque aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquiermomento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si quiero calcular

Por otra parte, observando las potencias de(a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.

Con lo que ya tenemos podemos calculardirectamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

que también sepuede escribir de forma abreviada así:

Ejemplos:
1) Desarrollar la potencia

La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1Que serán los valores de los coeficientes.

2) Calcular sin desarrollar el termino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:
(a2+3/b)100

El primer término tiene de coeficiente , el segundo , eltercero , etc.
Por tanto el término de lugar 50 será:
= 98913082887808032681188722800.=

En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de es
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