Binomio De Newton
Páginas: 6 (1289 palabras)
Publicado: 19 de junio de 2012
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo denúmeros enteros, infinito y simétrico.
Binomio de Newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno enuno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
Cálculo de Términos
En general el término cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a laacción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculoconsiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados.
Obtenemos los tres primeros términos de la sucesión que tiene por término general an= 3n2 + 2.
Calculamos a1, a2, a3 sustituyendo n por su valor correspondiente:
a1 = 3 · 12 + 2 = 5
a2 = 3 · 22 + 2 =3 · 4 + 2 = 14
a3 = 3 · 32 + 2 = 3 · 9 + 2 = 29
Los términos de la sucesión son 5, 14, 29...
Dado el término general de una sucesión, calculamos el término a7 sin necesidad de conocer los términos anteriores.
Término general: a n = 2 · n 2 + 5 n
a 7 = 2 · 7 2 + 5 7 = 103 7
Hallamos el término general de la siguiente sucesión:
4 1 , 9 3 , 16 5 , 25 7 , ...
Buscamos un criteriode formación en el numerador y observamos que la sucesión está relacionada con los cuadrados, pero comienza con el cuadrado de 2 al sustituir n por 1, es decir:
4, 9, 16... → (n + 1)2
El denominador son los numeros impares:
1, 3, 5, 7... → 2n - 1
Por tanto, el término general de la sucesión es:
a n = ( n + 1 ) 2 2 n - 1
Término Central
El término central es aquel que deja elmismo número de términos a su izquierda que a su derecha.
Termino central de ( x/y +y/x)^8
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 29 56 70 56 28 8 1
(a+b)^8=1*a^8+8*a^7*b+29*a^6*b^2+...
el término central de ( x/y +y/x)^8 es ( x/y)^4* (y/x)^4*70=70
El Triángulo de Tartaglia o de Pascal
El triángulo de Pascal es un triángulo denúmeros enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos.
Historia
El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen,como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos . Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).
El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el...
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo denúmeros enteros, infinito y simétrico.
Binomio de Newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno enuno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
Cálculo de Términos
En general el término cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a laacción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculoconsiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados.
Obtenemos los tres primeros términos de la sucesión que tiene por término general an= 3n2 + 2.
Calculamos a1, a2, a3 sustituyendo n por su valor correspondiente:
a1 = 3 · 12 + 2 = 5
a2 = 3 · 22 + 2 =3 · 4 + 2 = 14
a3 = 3 · 32 + 2 = 3 · 9 + 2 = 29
Los términos de la sucesión son 5, 14, 29...
Dado el término general de una sucesión, calculamos el término a7 sin necesidad de conocer los términos anteriores.
Término general: a n = 2 · n 2 + 5 n
a 7 = 2 · 7 2 + 5 7 = 103 7
Hallamos el término general de la siguiente sucesión:
4 1 , 9 3 , 16 5 , 25 7 , ...
Buscamos un criteriode formación en el numerador y observamos que la sucesión está relacionada con los cuadrados, pero comienza con el cuadrado de 2 al sustituir n por 1, es decir:
4, 9, 16... → (n + 1)2
El denominador son los numeros impares:
1, 3, 5, 7... → 2n - 1
Por tanto, el término general de la sucesión es:
a n = ( n + 1 ) 2 2 n - 1
Término Central
El término central es aquel que deja elmismo número de términos a su izquierda que a su derecha.
Termino central de ( x/y +y/x)^8
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 29 56 70 56 28 8 1
(a+b)^8=1*a^8+8*a^7*b+29*a^6*b^2+...
el término central de ( x/y +y/x)^8 es ( x/y)^4* (y/x)^4*70=70
El Triángulo de Tartaglia o de Pascal
El triángulo de Pascal es un triángulo denúmeros enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos.
Historia
El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen,como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos . Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).
El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el...
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