Binomio De Newton

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Algebra y Geometr´ Anal´
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ıtica
Binomio de Newton. Demostraci´n por Inducci´n
o
o

Recordemos, el binomio de Newton afirma que:

n

n n−k k
a
b.
k

n

(a + b) =
k=0Demostraci´n:
o

p(n) : (a + b)n =

Consideremos la funci´n proposicional
o

n
k=0

n
k

an−k bk , probe-

mos en primera instancia que p(1) es verdadera.

i) p(1) : (a + b)1 =

1
k=01
k

a1−k bk . Tomememos el segundo miembro de esta igual-

dad y tratemos de llegar al primer miembro:
1
k=0
1
0

1
k

a1−k bk =

=

1
1

= 1.

1
0

a1 b0 +

1
1

a0 b1= 1a + 1b = a + b = (a + b)1 , ya que

ii) Supongamos que p(h) es verdadera, la cual representa la hip´tesis Inductiva, o
o
sea:
h

p(h) : (a + b)h =
k=0

h h−k k
a
b,
k

finalmente,iii) Probemos que p(n) es verdadera para n = h + 1, ocupando la hip´tesis inductiva.
o
Debemos probar que se cumple la siguiente igualdad:
h+1
h+1

( a + b)

=
k=0

h + 1 h+1−k k
a
b,
kDem.:
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Algebra y Geometr´ Anal´
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Segundo Semestre 2005

1

Prof. Magister Osmar Vera

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Algebra y Geometr´ Anal´
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(a + b)h+1 = (a + b) · (a + b)h
h

h

hh−k k
a
b +b·
k
k=0

= a·
k=0

h

h

h h−k+1 k
a
b+
k
k=0

=
k=0

h h−k k
a
b
k

h h−k k+1
a
b
k

(1)

(2)

Tengamos en cuenta que en la primera igualdad se aplica lapropiedad del producto de potencias de igual base. En la otra se ocup´ la hip´tesis inductiva, y la
o
o
distributividad de la suma respecto del producto, y en la ultima se introducen
´
losfactores a y b respectivos dentro de las sumatorias, ya que no dependen del
sub´
ındice de la sumatoria.

Ahora vamos a desdoblar ambas sumas (1) y (2) del siguiente modo: en (1) le
quitamos el primert´rmino y sumamos desde k = 1 hasta h y en (2) le quitamos
e
el ultimo t´rmino y sumamos desde k = 0 hasta k = h − 1
´
e
h

h h+1 0
a b+
0
k=1

(1) =

h−1

h 0 h+1
h h−k k+1
ab
a...