BINOMIO DE NEWTON


BINOMIO DE NEWTON


TRABAJO REALIZADO POR: Julio Alfredo Sánchez Espinoza


INTRODUCCIÓN AL BINOMIO DE NEWTON

I. FACTORIAL

1. Definición.- El factorial de un número entero positivo se define como el producto indicado, desde la unidad en forma consecutiva, hasta el número dado.

2. Notación.- El factorial de "n" se representa de lassiguientes maneras:

(Kramp) Americana

Inglesa


Por definición:




Ejemplos:

1!= 1

2!= 1.2=2

3!= 1.2.3=6

4!= 1.2.3.4=24

5!= 1.2.3.4.5=120

6!= 1.2.3.4.5=720

7!= 1.2.3.4.5.6.7=5040

Observación: Por convención el factorial de cero es igual a uno.



3. Propiedades de los factoriales:

(1°)Propiedad Degradativa




(2°) Igualdad de factoriales:Observación:




NOTA:

Es importante distinguir un doble factorial de un semifactorial.
Por definición:



Ejemplo:
i) 3!! = 1x3 = 3
ii) 6!! = 2x4x6 = 48
iii) (3!)! = (1x2x3)! = 6! = 720... Esto es un doble factorial.


4. El Coeficiente Binomial:

Se denomina coeficiente binómico o binomial a la expresión denotada por:

Notación deEttingshausen


Donde:
mbase o índice superior (mR)
norden o índice inferior (nN)

Por definición:





Ejemplos:







Además: Si m, n N m > n el coeficiente binomial puede expresarse como:





Ejemplo:




3.Propiedades de los Coeficientes Binomiales:

(1°)




(2°)




(3°)




(4°)CoeficientesBinomiales Complementarios:





(5°) Suma de un par de coeficientes binomiales:




(6°) Igualdad de coeficientes Binomiales:



ó



(7°)Propiedades degradativas de los Coeficientes Binomiales (mR)



Degradan el Índice superior e inferior




Degradan elíndice superior





Degradan el índice inferior



Propiedades adicionales

a),


b), , n es impar


c) , , n es par


d) ,




BINOMIO DE NEWTON


INTRODUCCIÓN.-

“En los 18 meses de vacaciones forzosas en Woolsthorpe, Newton realiza una aportación que por sí sola le habría hecho pasar a la historia delUniverso Matemático, lo que más tarde se llamará el binomio de Newton”...

Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo John Wallis - miembro fundador de la Royal Society de Londres- por primera vez en 1685 en su Álgebra , atribuyendo a Newton este descubrimiento.


DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO PARA EXPONENTE NATURAL

Teorema: El desarrollo de la potencia de un binomio cuandoel exponente nN es:





Donde:
x: primer término de la base.
a: segundo término de la base.

Forma reducida:





Ejemplo: El desarrollo de:



(x+4)5=x5+20x4+160x3+640x2+1280x+1024

PROPIEDADES:

I.- Término General:





(Contado de izquierda a derecha)



Ejemplo:

En P(x)=(2x3-a4)15. Halle el término décimo segundo.

Solución:
T12=(2x3)4(-a4)11T12=-21840x12a44

2.El desarrollo de la potencia del binomio tiene n+1 términos.

Ejemplo:

El desarrollo de la potencia (2x3-3a)12 tiene 13 términos.

3.Término central.

El desarrollo de la potencia del binomio tendrá un sólo termino central si n es par y la posición que ocupa este término será: (+1).
Si n es impar el desarrollo tendrá dos términos centrales que tendrán porubicación a:
() y ()
4.Signos del desarrollo.
Si el binomio es una suma, los términos del desarrollo tendrán todos signo positivo, si es una diferencia tendrán signo alternado.

(x+a)n +,+,+,+,+.....,+

(x-a)n +,-,+,-,+,-,....

5. La suma de coeficientes en el desarrollo del binomio (nN)

P(x,y)= (axα+byβ)n es: (a+b)n.

6. La suma de exponentes en el desarrollo del binomio (nN)...