Binomio

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BINOMIO DE NEWTON: Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener [pic]

Desarrollo de las potencias de (a+b)

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia
|[pic] |

Por otra parte encualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

[pic]

Ejemplos:
1) Desarrollar la potencia [pic]
[pic]

La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1
Que serán los valores de los coeficientes.

2) Calcular sin desarrollar eltérmino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:
(a2+3/b)100

El primer término tiene de coeficiente [pic], el segundo[pic], el tercero[pic], etc.
Por tanto el término de lugar 50 será:
[pic]= 98913082887808032681188722800.[pic]= [pic]
En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de [pic] es [pic]

RESIDUO:

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x- a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).
El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a
Ejemplo: Para hacer comprobaciones sobre lo que se verá en éste tema se puede usar nuestra calculadora de división sintética. Si dividimos el polinomio 2x3 - 4x2 - 3x + 2entre el polinomio x- 3

[pic]

Encontramos que el cociente es 2x2 + 2x + 3 y que el residuo es 11. Por otra parte, si evaluamos numéricamente la función polinomial ƒ(x) correspondiente al polinomio 2x3 - 4x2 - 3x + 2 para el valor de x = 3, se obtiene
ƒ(x) = 2x3 - 4x2 - 3x + 2
ƒ(3) = 2(3)3 - 4(3)2 - 3(3) + 2
ƒ(3) = 2(27) - 4(9) - 9 + 2
ƒ(3) = 54 - 36 - 9 + 2
ƒ(3) = 11
Teorema delfactor
Si a es una raíz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.
Aquí podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raíz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICASSimplificar una fracción algebraica es encontrar otra fracción equivalente a ella sin factores comunes en el numerador y el denominador.
Para simplificar una fracción algebraica, factorizamos el numerador y el denominador de la fracción, y eliminamos todos los factores comunes que sea posible.
Cuando los términos de una fracción algebraica no se pueden dividir por un mismo número entero o polinomio,para obtener una fracción equivalente a la misma, decimos que es irreducible. Así son irreducibles las fracciones:
2 x + 1 , 2 x x 2 + 1 , x 3 + 2 x + 1 x - 1
La fracción x - 1 x 3 - x 2 - x + 1 es reducible, ya que se puede factorizar el denominador de la misma, obteniendo:
x3 - x2 - x + 1 = (x - 1)2 · (x + 1)
Sustituyendo en la fracción y dividiendo numerador y denominador entre (x - 1),obtenemos la fracción irreducible equivalente a la inicial.
x - 1 x 3 - x 2 - x + 1 = x - 1 ( x - 1 ) · ( x - 1 ) · ( x + 1 ) = 1 ( x - 1 ) · ( x + 1 ) = 1 x 2 - 1
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS:
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Con distinto denominador

1º Se determina el denominador común, que será elmínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

[pic]

[pic]

m.c.m.(4, 6) = 12

[pic]

[pic]

Multiplicación de...
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