Biologia

MOISES VILLENA MUÑOZ

La integral Indefinida

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1.1 DEFINICIÓN 1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1.2.1 FORMULAS 1.2.2 PROPIEDADES 1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES 1.2.9 INTEGRACIÓN DEFUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS

Objetivo: Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas

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La integral Indefinida

En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado encálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del cálculo integral.

1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA

Llamamos a F unaantiderivada, primitiva o integral indefinida de f en el intervalo I , si D x F ( x ) = f ( x ) es decir F ´( x ) = f ( x )
1.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

∫
1.1.2 Teorema

f ( x)dx = F ( x) + C

Si F´(x) = G´(x) , ∀x ∈ (a, b) entonces existe una constante C tal que F ( x) = G ( x) + C , ∀x ∈ (a, b)
Demostración:
Sea H ( x) = F ( x) −G ( x) definida en un intervalo (a, b ) entonces H ´(x) = F´(x) − G´(x) . Por Hipótesis, como F´(x) = G´(x) entonces H ´(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b ) . Como H es derivable ∀x ∈ (a, b ) , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para derivada, ∃x0 ∈ ( x, x1 ) ⊆ (a, b ) tal que H ´(x 0 ) = tenemos
H ( x1 ) − H ( x ) . Haciendo H ´(x0 ) = 0 x1 − x

H ( x1 ) − H ( x ) = 0 es decir H ( x) = H ( x1 )= C . x1 − x

Por lo tanto F ( x) − G ( x) = C

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1.2 INTEGRACIÓN.
Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación. En primera instancia, es importante pensar que siempre seva a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas. 1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales

∫ dx = x + C x 2. ∫ x dx = n + 1 + C ; n ≠ −1 1 3. ∫ x dx = ln x + C 4. ∫ e dx = e + C a 5. ∫ a dx = ln a + C 6. ∫ sen xdx = − cos x + C 7. ∫ cos xdx = sen x + C 8. ∫ sec xdx = tg x + C 9. ∫ csc xdx = − cot gx + C 10. sec x tg xdx = sec x+ C ∫
1.
n n +1

x

x

x

x

2

2

11.

∫ tg xdx = − ln cos x + C = ln sec x + C 13. cot gxdx = ln sen x + C ∫ 14. sec xdx = ln sec x + tg x + C ∫ 15. csc xdx = ln csc x − cot gx + C ∫ 1 ⎛x⎞ 16. ∫ a − x dx = arcsen⎜⎝ a ⎟⎠ + C
12.
2 2

∫

csc x cot gdx = − csc x + C

17.

18.

19. 20.

∫ ∫ ∫

1 a2 + x2

dx =

1 ⎛ x⎞ arctg⎜ ⎟ + C a ⎝a⎠

1 x x −a
2 2

dx =⎛a⎞ ⎛ x⎞ 1 1 arcsen⎜ ⎟ + C = arccos⎜ ⎟ + C ⎜a⎟ ⎜ x⎟ a a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

senh xdx = cosh x + C

∫ cosh xdx = senh x + C
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Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas. Ejemplo 1
Calcular

∫ x dx
2

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. x 2+1 x3 x 2 dx= +C = +C 2 +1 3

∫

Ejemplo 2
Calcular

∫

1 x

dx

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.

∫
Ejemplo 3
Calcular

1 x

dx =

∫x

−1

2 dx

=

x

− 1 +1 2

− 1 +1 2

+C

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 17. 1 1 dx = arctan 2 2 2 2 +x

∫ 4+ x
1

2

dx

∫

(2x ) + C

Para suma, resta de funciones y multiplicación por...