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Factorización

Factorizar un polinomio es expresar dicho polinomio en factores. Es muy importante que recordemos los casos ya estudiados.

1. Factor común

|Monomio |Polinomio |Por agrupación de términos |
|[pic] |[pic]|[pic] |
|Ejemplos: |Ejemplos: |Ejemplos: |
|a) 2a2 + 4a3 + 6a5 = 2a2( 1 + 2a + 3a3) |a) 5(m-n)-(m-n) |a) 2x2 + 2xc - 3bx - 3bc |
|b) 29x2 + 58xy = 29x( x + 2y)|= (m-n)(5-1) |= ( 2x2 + 2xc ) + (- 3bx - 3bc ) |
| |= 4 (m-n) |= 2x ( x + c ) – 3b( x + c ) |
| | |= ( x+ c )(2x – 3b )|

2. Factorización de binomio

|Diferencia de cuadrados |Suma de cubos |Diferencia de cubos |
|a2 – b2= ( a + b ) ( a – b ) |a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) |a3 - b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) |
|Ejemplos:|Ejemplos: |Ejemplos: |
|a) 81x2-1=(9x+1)(9x-1) |a)8 + x3 = ( 2 + x )( 4 - 2x + x2 ) |a) m3 – 125 = (m - 5)(m2 + 5m + 25) |
|b) ( y + z)2-( y - 5)2 |b)( y + 7 )3 + y3 |b) x3 - ( x + 4 )3 ||=[( y + z)+( y - 5)][( y + z)-( y - 5)] |=[(y+7)+(y)][(y+7)2-(y+7)(y)+(y)2] |=[(x)-(x+4)][(x)2+(x)(x+4)+(x+4)2] |
|=(2y + z - 5)( z + 5) |= ( 2y + 7 )( y2 + 7y + 49 ) |=(-4)( 3x2 + 12x + 16) |

3. Factorización de trinomios

|Trinomio cuadrado perfecto |Trinomio de laforma x2+bx+c |Trinomio de la forma ax2+bx+c |
|a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 |x2 + bx + c = (x+m)(x+n) |ax2 + bx + c = ( px + m)(qx + n) |
|a2 – 2ab + b2 = ( a – b )2 |Donde b = m + n ( c = mn |Donde a = pq, b = pn + qm ( c=mn |
|Ejemplos:|Ejemplos: |Ejemplos: |
|100 + 20x + x2 = ( 10 + x )2 |x2 – 9x + 20 = ( x – 5 )( x – 4 ) |4x2 + 4x – 3 = ( 2x – 1 )( 2x + 3 ) |
|(x + y )2 + 6( x + y ) + 9 = ( x + y + 3 )2 |x2 + x – 56 = ( x + 8 )( x – 7 ) |3x2 - 5x – 2 = (3x + 1 )( x – 2 ) |

4. Factorización de tetranomio cubo perfecto

|a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = ( a + b )3 |a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = ( a – b )3 |
|Ejemplo: |Ejemplo: |
|27x3 + 27x2 + 9x + 1 = ( 3x + 1 )3|8y3 - 60y2z + 150yz2 - 125z3 = ( 2y – 5z )3 |

5. Factorización empleando el método del aspa

Factorizamos 12x2-2x-24
Descomponemos el primer término y el término 12x2 – 2x - 24
independiente en dos factores: 3x 4 16x
Trazamos un aspa desde los factores del primer...