black sholes

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Carrera de Matemáticas

Proyecto de Titulación previo a la obtención del título de
Matemático.

“Método de Newton Generalizado para la
Resolución Numérica de la Desigualdad Variacional
de Black-Scholes”
ROLANDO P. MANTILLA YÁNEZ
GABRIELA C. GARCÍA TRUJILLO

Director: Dr. Juan Carlos De los Reyes

-Octubre 2006-

´Indice general

1. Objetivos.

81.1. Objetivo General. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Objetivos Espec´ıficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. Valoraci´
on de Opciones.

10

2.1. Mercado de Capitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2. Opciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

11

2.3. Clasificaci´on de las Opciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3.1. Opciones de compra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.2. Opciones de Venta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.3. Opciones Europeas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132.3.4. Opciones Americanas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4. Posiciones B´asicas en Opciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3. La Ecuaci´
on de Black & Scholes.

16

3.1. El proceso de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.2. El proceso de Wiener Generalizado. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

18

3.3. Proceso de Ito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1

3.4. Modelo continuo para el comportamiento del precio y el Lema de Ito. . . . .

20

3.5. Deducci´on de la Ecuaci´on de Black & Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.6. La desigualdad variacional de Black & Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.6.1. Problema a frontera Libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.6.2. Formulaci´on d´ebil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.6.3. El problema como la Desigualdad Variacional Parab´olica de Black &
Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4. Estudio Variacional del Problema deValoraci´
on de las Opciones Americanas.
29
4.1. Elementos del an´alisis funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.2. Desigualdades Variacionales Parab´olicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2.1. Formulaci´on Abstracta de una Desigualdad Variacional Parab´olica. .

33

4.2.2. Estudio de existencia y unicidad de soluciones de la PVI. . . . . . . .35

5. Sistema de Complementariedad, Multiplicadores de Lagrange y Convergencia de Problemas Regularizados.
42
5.1. Sistema de Complementariedad y Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . .

42

5.1.1. El problema como un Sistema de Complementariedad. . . . . . . . .

43

5.1.2. Problemas regularizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.1.3. Existencia deSoluci´on Fuerte como l´ımite de las soluciones a los problemas regularizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.2. Existencia del Multiplicador de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.3. Tasa de Convergencia de las soluciones de los problemas regularizados hacia
la soluci´on fuerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

52

¯ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Caso λ

53

2

¯ ) = (A(0) + f (τ ))+
5.3.2. Caso λ(τ

∞.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

6. El M´
etodo de Newton Semi-Suave y la Estrategia de Conjuntos Activos e
Inactivos.
55
6.1. El m´etodo de Newton Semi-Suave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55...