Borrachera Verde
Páginas: 9 (2101 palabras)
Publicado: 14 de marzo de 2013
Solución del 1er. nivel (3ra. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Como 1000 = 23 53 entonces los divisores pares de 1000 son: 2; 2
2; 2 2 5; 2 2 52 ; 2 2 53 ; 2 2 2; 2 2 2 5; 2 2 2
2; 10; 50; 250; 4; 20; 100; 500; 8; 40; 200; 1000; la suma de estos es: 2184:
52 ; 2 53 ; 2
2 2 53 =
5; 2
52 ; 2
2. Se tienen los siguientesnúmeros racionales con denominador a lo más 7 y menores que
1
1
2
1
3
1
1
2
3
2
5
2
1
3
2
3
4
3
5
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7
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8
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4
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7
4
9
4
11
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5
2
5
3
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6
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13
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17
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6
1
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2
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9
5
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12
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7
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7
15
7
16
7
17
7
18
7
19
7
20
7
luego Pedro escribió 55 números racionalesmenores que :
3.Dividiendo tenemos
12345 n789 91
324
13 5 6
515
60 ..
.
0
9
observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro lado
multiplicando el cociente por el divisor obtenemos el dividendo y de esto tenemos
13 56
9
91
13 56 679
91
9
13 56 679
12 2 1 0 1 1 1
12 3 4 5 n 789
12 3 4 5 n 789
13 56
de donde se sigue que n = 7:
1
4. Considerandoalgunos casos particulares
Entonces se tiene:
Número de pisos Caras visibles
1
3
2
9=3+6
3
17 = 9 + 8
4
27 = 17 + 10
5
39 = 27 + 12
.
.
.
.
.
.
Continuando de esta manera se tiene que en el piso 22 se tienen 549 caras visibles.
Solución del 2do. nivel (3ra. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Como 1000 = 23 53 entonceslos divisores pares de 1000 son: 2; 2
2; 2 2 5; 2 2 52 ; 2 2 53 ; 2 2 2; 2 2 2 5; 2 2 2
2; 10; 50; 250; 4; 20; 100; 500; 8; 40; 200; 1000; la suma de estos es: 2184:
5; 2
52 ; 2
52 ; 2 53 ; 2
2 2 53 =
2. Observemos que las posibles sumas de dos números compadres uno 237 y el otro de tres cifras,
pueden ser: 1111; 1000; 1110; 1101; 1011; 1001; 1010; 1100: Luego restando de cada uno 237 tenemos:874; 763; 873; 864; 774; 764; 773 y 863 como sus compadres
3.Dividiendo tenemos
12345 n789 91
324
13 5 6
515
60 ..
.
0
9
observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro lado
multiplicando el cociente por el dividendo obtenemos el dividendo y de esto tenemos
13 56
13 56 679
9
91
91
9
13 56 679
12 2 1 0 1 1 1
12 3 4 5 n 789
12 3 4 5 n 789
13 56
1de donde se sigue que n = 7:
4. Considerando algunos casos particulares
Entonces se tiene:
Número de pisos Caras visibles
1
3
2
9=3+6
3
17 = 9 + 8
4
27 = 17 + 10
5
39 = 27 + 12
.
.
.
.
.
.
Continuando de esta manera se tiene que en el piso 33 se tienen 1187 caras visibles.
1
Solución del 3er. nivel (3ra. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr.Alvaro H. Carrasco C.
1. Sean a, b y c las dimensiones del recipiente, entonces tenemos
8
< ab2 = 1
bc4 = 1
:
ac5 = 1
c
2
b
a
multiplicando estas ecuaciones tenemos
a2 b2 c2 40 = 1
de donde
(abc)2 =
1
40
y …nalmente el volumen viene dado por:
p
1
10
abc = p =
20
40
2. Usando las expresiones
x3 1 = (x 1) x2 + x + 1
x3 + 1 = (x + 1) x2 x + 1
tenemos
23 1
33 1
43 1
53 1
23 + 1
33 + 1
43 + 1
53 +1
(2 1) (22 + 2 + 1) (3 1) (32 + 3 + 1) (4 1) (42 + 4 + 1) (5 1) (52 + 5 + 1)
=
(2 + 1) (22 2 + 1) (3 + 1) (32 3 + 1) (4 + 1) (42 4 + 1) (5 + 1) (52 5 + 1)
7 2 13 3 21 4 31
31
31
=
=2
=
3 3 4 7 5 13 6 21
35
45
1
3.Dividiendo tenemos
12345 n789 91
324
13 5 6
515
60 ..
.
0
9
observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro lado
multiplicando el cocientepor el dividendo obtenemos el dividendo y de esto tenemos
13 56
13 56 679
9
91
91
9
13 56 679
12 2 1 0 1 1 1
12 3 4 5 n 789
12 3 4 5 n 789
13 56
1
de donde se sigue que n = 7:
4. Considerando algunos casos particulares
Entonces se tiene:
Altura de la torre Caras visibles
1
3=3 1
2
9=3 3
3
18 = 3 6
4
30 = 3 10
5
45 = 3 15
6
63 = 3 21
Altura de la torre Caras visibles
7
84 = 3 28
8
108...
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Como 1000 = 23 53 entonces los divisores pares de 1000 son: 2; 2
2; 2 2 5; 2 2 52 ; 2 2 53 ; 2 2 2; 2 2 2 5; 2 2 2
2; 10; 50; 250; 4; 20; 100; 500; 8; 40; 200; 1000; la suma de estos es: 2184:
52 ; 2 53 ; 2
2 2 53 =
5; 2
52 ; 2
2. Se tienen los siguientesnúmeros racionales con denominador a lo más 7 y menores que
1
1
2
1
3
1
1
2
3
2
5
2
1
3
2
3
4
3
5
3
7
3
8
3
1
4
3
4
5
4
7
4
9
4
11
4
1
5
2
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3
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4
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6
5
7
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7
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6
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7
2
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3
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5
7
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5
12
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13
5
14
5
9
7
10
7
11
7
12
7
13
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7
16
7
17
7
18
7
19
7
20
7
luego Pedro escribió 55 números racionalesmenores que :
3.Dividiendo tenemos
12345 n789 91
324
13 5 6
515
60 ..
.
0
9
observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro lado
multiplicando el cociente por el divisor obtenemos el dividendo y de esto tenemos
13 56
9
91
13 56 679
91
9
13 56 679
12 2 1 0 1 1 1
12 3 4 5 n 789
12 3 4 5 n 789
13 56
de donde se sigue que n = 7:
1
4. Considerandoalgunos casos particulares
Entonces se tiene:
Número de pisos Caras visibles
1
3
2
9=3+6
3
17 = 9 + 8
4
27 = 17 + 10
5
39 = 27 + 12
.
.
.
.
.
.
Continuando de esta manera se tiene que en el piso 22 se tienen 549 caras visibles.
Solución del 2do. nivel (3ra. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.
1. Como 1000 = 23 53 entonceslos divisores pares de 1000 son: 2; 2
2; 2 2 5; 2 2 52 ; 2 2 53 ; 2 2 2; 2 2 2 5; 2 2 2
2; 10; 50; 250; 4; 20; 100; 500; 8; 40; 200; 1000; la suma de estos es: 2184:
5; 2
52 ; 2
52 ; 2 53 ; 2
2 2 53 =
2. Observemos que las posibles sumas de dos números compadres uno 237 y el otro de tres cifras,
pueden ser: 1111; 1000; 1110; 1101; 1011; 1001; 1010; 1100: Luego restando de cada uno 237 tenemos:874; 763; 873; 864; 774; 764; 773 y 863 como sus compadres
3.Dividiendo tenemos
12345 n789 91
324
13 5 6
515
60 ..
.
0
9
observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro lado
multiplicando el cociente por el dividendo obtenemos el dividendo y de esto tenemos
13 56
13 56 679
9
91
91
9
13 56 679
12 2 1 0 1 1 1
12 3 4 5 n 789
12 3 4 5 n 789
13 56
1de donde se sigue que n = 7:
4. Considerando algunos casos particulares
Entonces se tiene:
Número de pisos Caras visibles
1
3
2
9=3+6
3
17 = 9 + 8
4
27 = 17 + 10
5
39 = 27 + 12
.
.
.
.
.
.
Continuando de esta manera se tiene que en el piso 33 se tienen 1187 caras visibles.
1
Solución del 3er. nivel (3ra. etapa)
2da. Olimpiada Cientí…ca Estudiantil Plurinacional Boliviana
Responzable: Mgr.Alvaro H. Carrasco C.
1. Sean a, b y c las dimensiones del recipiente, entonces tenemos
8
< ab2 = 1
bc4 = 1
:
ac5 = 1
c
2
b
a
multiplicando estas ecuaciones tenemos
a2 b2 c2 40 = 1
de donde
(abc)2 =
1
40
y …nalmente el volumen viene dado por:
p
1
10
abc = p =
20
40
2. Usando las expresiones
x3 1 = (x 1) x2 + x + 1
x3 + 1 = (x + 1) x2 x + 1
tenemos
23 1
33 1
43 1
53 1
23 + 1
33 + 1
43 + 1
53 +1
(2 1) (22 + 2 + 1) (3 1) (32 + 3 + 1) (4 1) (42 + 4 + 1) (5 1) (52 + 5 + 1)
=
(2 + 1) (22 2 + 1) (3 + 1) (32 3 + 1) (4 + 1) (42 4 + 1) (5 + 1) (52 5 + 1)
7 2 13 3 21 4 31
31
31
=
=2
=
3 3 4 7 5 13 6 21
35
45
1
3.Dividiendo tenemos
12345 n789 91
324
13 5 6
515
60 ..
.
0
9
observemos que el último dígito del cociente debe ser 9 para que el resto sea 0, por otro lado
multiplicando el cocientepor el dividendo obtenemos el dividendo y de esto tenemos
13 56
13 56 679
9
91
91
9
13 56 679
12 2 1 0 1 1 1
12 3 4 5 n 789
12 3 4 5 n 789
13 56
1
de donde se sigue que n = 7:
4. Considerando algunos casos particulares
Entonces se tiene:
Altura de la torre Caras visibles
1
3=3 1
2
9=3 3
3
18 = 3 6
4
30 = 3 10
5
45 = 3 15
6
63 = 3 21
Altura de la torre Caras visibles
7
84 = 3 28
8
108...
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