Box Jenkins

MODELOS ARIMA
Los modelos ARIMA fueron popularizados en los años 70 por George Box y Gwilym Jenkins, y sus nombres se utilizan, frecuentemente, como sinónimos de la metodología ARIMA aplicada a análisis y predicción de series. Esta familia de modelos ha sido utilizada ampliamente a partir de los 80, debido a los avances de recursos de cálculo y de optimización. La principal ventaja de estametodología es que proporciona predicciones óptimas en el plazo inmediato y en el corto plazo. Esto se debe a que la metodología Box-Jenkins (BJ en adelante) nos permite elegir entre un amplio rango de distintos modelos según represente mejor el comportamiento de los datos. El sentido de predicciones óptimas significa que ningún modelo univariante puede ofrecer mejores predicciones que un modelo ARIMA.Esto no se cumple si ampliamos el modelo ARIMA con regresión múltiple o utilizamos metodología multivariante. La principal desventaja de estos modelos es que la determinación del modelo que mejor se adecua a la serie de datos no es trivial y, por tanto, se requiere que la persona que realice predicciones tenga amplios conocimientos sobre esta metodología. Esto ha inhibido el uso de estametodología para realizar predicciones en el mundo de la empresa, ya que el aumento de precisión de las mismas no compensaba el coste de implantación. No obstante, es posible manejar algoritmos automáticos, que permiten que la persona que utilice estas técnicas no tenga que tener conocimientos extensos sobre esta materia. Así se lograrán mejores modelos y, por tanto, mejores predicciones, sin necesidad deese aumento del coste de implantación.

© Carlos Maté

Expresión General de un Modelo ARMA

El acrónimo ARIMA significa modelo autorregresivo integrado de media móvil (AutoRegresive Integrated Moving Average). Cada una de las tres partes del acrónimo se le denomina componente y modela un comportamiento distinto de la serie. Sea la serie temporal Yt . La expresión típica de un modelo ARMA ennotación algebraica es la siguiente.

{ }

Yt = C + φ1·Yt −1 + K + φ p·Yt − p + θ1·ε t −1 + K + θ q ·ε t − q + ε t 1444 24444 4 3 1444 24444 4 3
Comp. Autorregresiva Comp. de Media Móvil

(10.8)

Este modelo se nota abreviadamente ARMA (p,q). Un modelo ARMA es un modelo lineal. Esto significa que la variable que define la serie temporal Yt depende de una constante C, linealmente devalores pasados de la misma variable y linealmente de una ponderación de errores de ajuste realizados en el pasado. A continuación se definen algunos términos de común uso sobre modelos ARMA. A la dependencia de la serie temporal con los valores pasados de la misma serie temporal se le denomina componente autorregresiva del modelo (AR). El número de retrasos de la serie temporal Yt que se introducen enel modelo se denomina orden autorregresivo del modelo y se denota mediante la letra p. La palabra autorregresivo viene de que se modela este comportamiento como una regresión lineal múltiple (regresivo) con valores propios de la misma serie temporal (auto) retrasados un periodo de muestreo T (T=1,2,...,p). Siguiendo un desarrollo paralelo al anterior, se denomina componente de media móvil de unmodelo ARMA a la dependencia de la serie temporal Yt con
© Carlos Maté

valores pasados de los errores (MA). El número de errores pasados que se introducen en el modelo se llama orden de media móvil, y se nota con la letra q. 10.1. Expresión General de un Modelo ARIMA Los modelos ARIMA se construyen a partir de los modelos ARMA, pero considerando que la serie en estudio para que sea estacionariaen media tendrá que diferenciarse una serie de veces. Un modelo ARIMA (p,d,q) es un modelo ARMA(p,q) sobre la serie diferenciada d veces. Es decir, su expresión algebraica, (10.9), será

Yt (d ) = C + φ1·Yt −1(d ) + K + φ p·Yt − p(d ) + θ1·ε t −1(d ) + K + θ q ·ε t − q(d ) + ε t (d ) 144444 44444 2 3 144444 44444 2 3
Comp. Autorregresiva Comp. de Media Móvil

donde Yt

(d )

es la...