Breve Teoría Del Filtro De Kalman

Filtro de Kalman

El filtro de Kalman se emplea para determinar el estado probable o identificar una señal que incluye ruido blanco (al tipo de ruido que presenta una media de energía igual a cero se le asigna esta denominación debido a que incluye todo el espectro de frecuencias, de manera análoga a la luz blanca). Presenta una gran importancia en los sistemas que emplean sensores debido a lasimperfecciones en las medidas que se obtienen de estos.
Planteamiento:
Si se plantea un sistema discreto de la forma:
xk=Ak-1xk-1+Bk-1uk-1+wk-1
Donde xk y xk-1 son estados actual y anterior respectivamente de un proceso dado, y:
A: matriz de nxn que relaciona el estado anterior xk-1 con el presente xk.
B: vector de nx1que relaciona el estado xk con la entrada uk-1.
Teniéndose asimismo lasvariables de medida,
zk=Hkxk+vk
Donde zk es un vector de mx1 es la medida que se obtiene directamente de los sensores, y además:
C: matriz de mxn que relaciona el estado con la medida zk.
Es de resaltar que las tres matrices pueden ser variantes en el tiempo.
Se observa la presencia de los vectores wk-1 y vk, que vienen a representar el ruido añadido a las señales de estado y de medidarespectivamente. Se asume un ruido de tipo blanco, independientes entre y con una distribución de probabilidad normal; esto es:
p(w)~N(0,Q)
p(v)~N(0,R)
QkyRkson las matrices de covarianza de proceso y de medida, respectivamente.
Se planteaun estado x-k para el estado estimado a priori a partir de un estado anterior, y
xksería un estado estimado a posteriori a partir de una medida zk, en eltiempo discreto k.
Definimos los errores a priori y a posteriori:
ek-=xk-xk-
ek=xk-xk
Las covarianzas estimadas del error a priori y posteriori vienen a ser:
Pk-=Eek-ek-T….(a)
Pk=Eek-ek-T…..(b)
Se desea obtener un algoritmo que calcule un estado observadoxk a partir de una combinación lineal del error estimado a priori y una diferencia proporcional entre zk y Hxk-, esto es:xk=xk-+Kzk-Hxk-…..(c)
Donde la matriz K de nxm viene a ser la ganancia que minimiza la covarianza del error a posteriori.
Si sustituimos la ecuación (c) en (b), y tomando la derivada de la traza del resultado respecto de K, se obtiene al igualarla a cero:
Kk=Pk-HTHPk-HT+R-1
Esta ganancia minimiza Pk.Nótese que cuando la matriz de covarianza de medida Rk se aproxima a cero, lo cual indicaría que la medida laganancia Kk se hace mayor, la medida zk se acerca más a Hkxk.
limRk→0Kk=H-1
Por otro lado, cuando la matriz de covarianzas del error a prioriPk- se aproxima a cero, la ganancia K se hace menor. Específicamente,
limPk-→0Kk=0
Funcionamiento:
El filtro de Kalmanestima un proceso mediante una especie de retroalimentación, que vienen a ser las entradas ruidosas. Las ecuaciones del filtro de Kalmanse dividen en dos grupos: de tipo “time update” y “measurementupdate”. El primer grupo se encarga de los resultados a priori, mientras el segundo lo hace con las medidas a posteriori.
Teniendo ya el planteamiento, se definen entonces los grupos:
Ecuaciones de tipo “time update”:
xk-=Ak-1xk-1+Bk-1uk-1….(i)
Pk-=APk-1AT+Q….(ii)
Ecuaciones de tipo “measurementupdate”:
Kk=Pk-HTHPk-HT+R-1….(iii)xk=xk-+Kzk-Hxk-….(iv)
Pk=I-KkHPk-….(v)
Teniendo ya las variables a priori Pk-, xk-,la secuencia puede ser la siguiente: se calcula la ganancia Kk con la ecuación (iii) y luego se mide el proceso para obtener zk. Con este resultado, se halla xk mediante la ecuación (iv). Se debe luego hallar Pka partir de (v). Luego de aquí, se emplean (i) y (ii) para “refrescar” los valores de Pk-, xk- (elíndice se habrá incrementado a un k+1) y se vuelve a realizar el ciclo. Con esto se observa la naturaleza iterativa del método. Ahora, se puede considerar de tipo adaptativo ya que se puede implementar con sistemas variantes en el tiempo y además la ganancia K se ajusta continuamente de forma óptima.
Las ecuaciones de “measurementupdate” están entonces relacionadas con la realimentación y se...