Filtros Kalman

Bases del filtro de Kalman

Rafael Molina Soriano
Depto Ciencias de la Computación e IA
Universidad de Granada
Rafael Molina

Bases del filtro de Kalman

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Contenidos
Introducción.
El filtro de Kalman

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Modelo del sistema
Modelo de medida
Formulación de la teoría de estimación lineal
óptima del filtro de Kalman
Algoritmo de Kalman
EjemploBibliografía
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I. Introducción
En muchas situaciones se dispone de una secuencia de
imágenes y no sólo de dos. Esta situación permite mejorar
el acoplamiento (matching) de los rasgos.
Si el movimiento (de un objeto) en una escena es continuo
es, obviamente, posible hacer predicciones sobre él en
cada instante basado en las trayectorias previas.Si tenemos las disparidades entre Ii-1 e Ii-2 e Ii-2 e Ii-3 etc,
es obvio que podemos predecir Ik - Ik-1.
El seguimiento de rasgos consiste en acoplar rasgos de
imagen en imagen en largas secuencias de imágenes.
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II. El filtro de Kalman
Rudolf E. Kalman nació en Budapest en
1930, emigró a Estados Unidos durante
la Segunda Guerra Mundialy se
doctoró en el M.I.T. en Ingeniería
Eléctrica en 1954.
En 1958 cuando viajaba en tren de Princeton a Baltimore el
tren se detuvo durante una hora a las 11 pm en las afueras
de Baltimore, entonces se le ocurrió aplicar el concepto de
variables de estado al filtro de Wiener.
Greg Welch y Gary Bishop, miembros del Department of
Computer Science de University of North Carolina at ChapelHill mantienen una excelente página sobre Kalman y su
filtro (http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/).
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Nuestro objetivo será la obtención de un estimador óptimo
de un sistema dinámico, basado en observaciones ruidosas y
en un modelo de la incertidumbre de la dinámica del
sistema.
Haremos uso de dos ingredientes fundamentales: los
conceptosde modelo del sistema y modelo de medida o de
observación.
Para ir entendiendo la formulación vamos a considerar
paralelamente la estimación de una constante (por ejemplo un
voltaje) cuya medida lleva asociado un ruído con una desviación
típica de 0.1 voltios. El voltaje será una constante y tenemos
observaciones secuenciales ruidosas.
Ver "An Introduction to the Kalman Filter" de Greg Welchy Gary
Bishop. Una copia local de este trabajo se encuentra en el
material del curso.
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II.1 Modelo del sistema
El sistema físico se modeliza por un vector de estados x,
llamado simplemente el estado, y un conjunto de
ecuaciones llamado el modelo del sistema.
El modelo del sistema es una ecuación de vectores que
describe la evolución delestado con el tiempo.
El tiempo de observación tiene la forma tk=t0+k∆T, k=0,1...,
∆T es el intervalo de muestreo y xk el estado x(tk).
Vamos a suponer que ∆T es pequeño y que por tanto
podemos utilizar un modelo del sistema lineal, es decir,

xk=φk-1 xk-1 +ξk-1
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donde ξk-1 es un vector aleatorio que modeliza el ruido
aditivo. Elsubíndice k-1 en φ indica que la matriz de
transición

φ

es (puede ser) una función del tiempo.

Volvamos ahora a nuestro ejemplo. Como el voltaje es una
constante podemos utilizar como modelo del sistema

xk=xk-1 +ξk-1
Observemos que cuanto mayor sea k, en principio, más
fiabilidad tendrá la estimación. Es importante analizar las

características de ξk-1 pero esto lo haremos conposterioridad. Casi siempre el ruído ξk-1 se supone normal
de media cero.
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II.2 Modelo de medida
El segundo ingrediente en la teoría de la estimación es el
modelo de medida.
Suponemos que en cada instante tk tenemos una observación
ruidosa del vector de estados o al menos alguna de sus
componentes mediante la siguiente relación

zk=Hk xk +µk...