Filtro de kalman

4.6 El filtro de Kalman
Introducci´n
o
Filtro de Kalman discreto
Algoritmo: predicci´n + correcci´n
o
o
Caracter´
ısticas probabil´
ısticas
El filtro de Kalman extendido
Filtros de Part´
ıculas
Conclusiones

Doctorado en Tecnologías de las Comunicaciones - Procesado Digital de Señales en Comunicaciones (Curso 2003/04)

Introducci´n
o
Formulaci´n matem´tica en t´rminos delconcepto espacio del estado
o
a
e
Sistema
Din´mico
a

Estado x(t)
-

6
Errores del sistema

Estima del
Sistema
Observaci´n z(t)
o
- Estimador
- estado
de
ˆ
x(t)
Medida
6
6
Errores de medida
Informaci´n previa
o

Soluci´n recursiva
o
Soluci´n v´lida para ambientes estacionarios y no estacionarios
o a
Soporta estimas de estados presentes, pasados y futuros (filtrado,suavizado y predicci´n)
o
M´todo eficiente para resolver el problema de m´
e
ınimos cuadrados
(incluye al RLS y sus variantes)

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Filtro de Kalman discreto
Plantemiento: Estima del estado x ∈ I n de un proceso lineal disR
creto en el tiempo a partir de un conjunto de medidas z ∈ Im
R
Ecuaci´n del proceso
o
xk = Axk−1 + Buk + wk−1
Ecuaci´n de medida
o
z k = Hxk + v k
Ruido de proceso y ruido de medida: independientes, blancos y con
distribuci´n gaussiana
o
p(w) ∼ N (0, Q),

p(v) ∼ N (0, R)

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Definiciones
ˆk
Estima a priori del estado: x− ∈ I nR
ˆk
Error de estima a priori: e− = xk − x−
k
ˆ
Estima a posteriori del estado: xk ∈ I n
R
ˆ
Error de estima a posteriori: ek = xk − xk
Matriz de correlaci´n del error de estima a priori:
o
P − = E e− e−H
k
k k
Matriz de correlaci´n del error de estima a posteriori:
o
P k = E ek eH
k
Proceso de innovaci´n (o residuo)
o
ˆk
αk = z k − H x−
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Aspectos computacionales del filtro
Evaluaci´n del estado a posteriori
o
ˆk
ˆk
ˆ
ˆk
xk = x− + K k z k − H x− = x− + K k αk
Ganancia del filtro de Kalman K k (n × m)
Minimiza la correlaci´n de error a posteriori P k
o
K k = P − H H HP − H H + R
k
k

−1

P −H H
k
=
HP − H H + R
k

Propiedades
l´ K k =H −1 ,
ım

Rk →0

l´ K k = 0
ım
−

P k →0

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Algoritmo: predicci´n+correcci´n
o
o
.................................................
..................................................
............
.........
............
.........
.......
.........
................
..
...
....
...
.......
.......

R

Inicializaci´n - Predicci´n
o
o

Correcci´n
o

.......
.......
.....
.....
........
........
.......
.......
..........
..........
.........
.........
...
....................
..................... ..........................
.............................
......

I

Ecuaciones de predicci´n
o
ˆk
x− = Aˆ k−1 + Buk
x
P −= AP k−1 AH + Q
k
Ecuaciones de correcci´n
o
Kk =

P −H H
k

HP − H H
k

+R

−1

ˆ
ˆk
ˆk
xk = x− + K k z k − H x−
P k = (I − K k H) P −
k
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Caracter´
ısticas probabil´
ısticas
El filtro de Kalman mantiene los dos primeros momentos de la distribuci´n del estadoo
ˆ
E [xk ] = xk ,

ˆ
ˆ
E (xk − xk )(xk − xk )H = P k

Si los ruidos del proceso y de la medida son gaussianos
ˆ
ˆ
p(xk |z k ) ∼ N (E [xk ] , E (xk − xk )(xk − xk )H ) = N (ˆ k , P k )
x
Condiciones de ortogonalidad del proceso de innovaci´n
o
E αk z H = 0,
n

1≤n≤k−1

E αk αH = 0,
n

1≤n≤k−1

{z 1 , z 2 , · · · , z k }

{α1 , α2 , · · · , αk }

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