Bruja De Agnesi

Bruja de Agnesi
En matemáticas, la bruja de Agnesi (pronounciado 'Añesi'), también llamada la Hechicera de Agnesi o la Bruja de Maria Agnesi (nombrada así por Maria Agnesi) es la curva definida por lo siguiente:
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La Bruja de Agnesi, con sus puntos principales. |
A partir de una circunferencia, y un punto cualquiera O de la circunferencia, siendo T el punto diametralmente opuesto a O. Paracualquier otro punto A de la circunferencia, la prolongación de la línea secante OA corta a la perpendicular a OT que pasa por T en B. La línea paralela a OT que pasa por B, y la línea perpendicular a OT que pasa por A se cortan en P. Tomando como variable el punto A se define la curva de los puntos P es el de bruja.
La asíntota, de esta curva, es la línea tangente a la circunferencia que pasapor el punto O.
Contenido  [ocultar] 1 Historia2 Ecuaciones2.1 Ecuación cartesiana2.2 Ecuación paramétrica3 Representación gráfica3.1 Estudio de la función.3.1.1 Derivada primera de la función3.1.2 Derivada segunda de la función4 Propiedades5 Aplicaciones6 Véase también7 Enlaces externos8 Referencias9 Fuentes |
[editar]Historia
Esta curva fue estudiada por Pierre de Fermat en 1630, GuidoGrandi en 1703, y por Maria Gaetana Agnesi en 1748.
Grandi llamó a la curva versoria, del latín vertere, que significa virar, girar, y versiera en italiano. Es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. María Gaetana Agnesi escribió a su vez la versiera, añadiendo el artículo femenino llama la versiera di Agnesi que significa la curva de Agnesi.
Los principios de estacurva fueron traducidos al inglés por el profesor de la Universidad de Cambridge, John Colson, con poco conocimiento del italiano, como - l' avversiera di Agnesi -, debido a que "confundió" versiera con avversiera (que en italiano significa 'diablesa', 'demonia'. Se tradujo como witch, "mujer contraria a Dios", esto es, "bruja", el error de la traducción al Inglés permanece hasta nuestros días, dandolugar a su nombre actual. Este término se usa en inglés y en las lenguas que han copiado el nombre del inglés. La dependencia que el idioma español tenía del idioma inglés acabó por embrujarla también en castellano. En otros idiomas se habla de loci (en latín, 'lugares' geométricos, curvas) de Agnesi. En italiano se denomina versiera.1 2
[editar]Ecuaciones
La curva Bruja de Agnesi, puederepresentarse analíticamente como función en el plano xy, tanto en su forma cartesiana y= f(x), como paramétricamente.
[editar]Ecuación cartesiana
Tomando el punto O como origen de coordenada, y que T en el lado positivo del eje y, y tomando como radio de la circunferencia el valor a.

Según la figura tenemos las siguientes ecuaciones, por la definición de tangente en el triángulo OAE rectánguloen E y el triángulo OBDrectángulo en D, Semejantes entre sí:

En el triángulo ACF rectángulo en F, y por el teorema de Pitágoras, tenemos que

Podemos ver también las siguientes igualdades:

Que se puede resumir en las relaciones:

Partiendo de las ecuaciones deducimos:

Elevando la ecuación al cuadrado tenemos:

Operando con la expresión tendremos que:

Que invirtiendo la fracción ysimplificando dará como resultado:

Entonces la curva tiene por ecuación cartesiana:

Nota: si tomamos a a=1/2, entonces la ecuación toma una forma muy sencilla:

[editar]Ecuación paramétrica
Paramétricamente, si  es el ángulo entre OD y OB, o lo que es lo mismo entre OE y OA, medido en sentido trigonométrico, entonces la curva se define por las ecuaciones:
Partiendo, al igual que en laecuación cartesiana, de:

Primero despejaremos la x respecto de :

Con lo que fácilmente se puede ver, que:

Ahora despejaremos la y respecto de , partiendo de:

Sabiendo que:

Tendremos:

Elevando esta expresión al cuadrado, tendremos:

Operando con la expresión:

Sabiendo que:

Tendremos:

Estas ecuaciones dependen del ángulo  y de la correspondiente función trigonométrica,...