BSM para valuar acciones americanas


Derivación y solución de la ecuación diferencial de Black Scholes Merton
Para valuar opciones europeas y opciones americanas por el método de diferencias finitas implícitas.
Víctor Membrillo Zarco
Objetivo: Valuar opciones americanas con el método de diferencias finitas a partir de laecuación deferencial de Black Scholes Merton para diferentes precios de ejercicio a una fecha determinada.

Sea el proceso de precios de una acción

(1)
(Recuerda que es un movimiento browniano geométrico generalizado porque involucra a S en la función y tiene un componente determinista y unoestocástico)

Supón que f es el precio de una opción call o put u otro derivado contingente, depende de S (precio de la acción).Por el lema de Ito:

(2)

La versión discreta es:

Del proceso de precios de la acción: (3)
Del proceso de precios de la opción: (4)
Donde delta f esel cambio en f respecto a un cambio en t respectivamente pequeño intervalo.
se leé, derivada parcial de f respecto de S, y se hacen parciales porque f depende de varias variables(S y t).
Con base en el proceso de Wiener: ,€ N(0,1) sustituimos en las dos ecuaciones anteriores.

(5)(6)

Construimos un portafolio delta neutral con los siguientes instrumentos:
Corto en una opción (puede ser cualquier derivado): -f
Largo en acciones, comprando una cantidad igual a:
Entonces el valor del portafolio , es(7)
(menos el valor de la opción mas la cantidad de acciones multiplicada por su precio de la acción)
Donde el cambio en el precio del portafolio esta dado por, el cambio en el precio en el derivado, y el cambio en el precio de la acción.
(8)

Sustituimos el valor de en la ecuación anterior.(10)
Desarrollamos el algebra
(11)

Se cancela el primer con el quinto término.
Y el cuarto con el sexto.

(12)

No involucra términos con delta Z, entonces el incremento en el valor del portafolio dependerá solamente de la tasa libre de riesgo.(13)
El segundo miembro de esta ecuación se lee: el valor del portafolio hoy por la tasa libre de riesgo(como es continua la tasa, si esta es de un año, .5r es la tasa de medio año, etc.) por la variación en el tiempo, es el incremento en el valor del portafolio.

Igualamos las dos ecuaciones anteriores (12) = (13).

=(14)

Pero recuerda que
(7)
Que sustituimos en la anterior ecuación, (14).

= (15)
Apoyados en el algebra:

=(16)





Eliminamos de ambos lados delta t
= (17)
Propiedad distibutiva de la multiplicación
=
despejamos
=
Multiplicamos por -1

Ecuación Black Scholes Merton
= (18)

Esta ecuación...