Buenas Tareas

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

INECUACIONES
NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser “ ≤”, “ ≥”, “”. Para
las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidadúnicamente se utilizará la desigualdad “>”,
siendo todas ellas generalizables a cualquiera de las otras tres.
En los ejemplos y ejercicios se utilizarán cualquiera de las cuatro desigualdades indistintamente.

CONCEPTOS
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones en las que aparecen una o varias
incógnitas.
Ejemplo 1: a) 2x < 8 es una inecuación con una incógnita
b) x2 - 2x ≤ y – 1 esuna inecuación con dos incógnitas

Una solución de una inecuación es un valor numérico de cada una de las incógnitas para los que se
verifica la desigualdad.
Ejemplo 2:
a) El valor x = -4 es una solución de la inecuación 3x + 7 < 1 ya que 3(-4) + 7 = -12 + 7 = -5 es menor que 1.
b) Los valores x = 3 e y = -5 son una solución de la inecuación x - y ≥ 2 ya que 3 - (-5) = 8 es mayor o igual que2.
c) La inecuación x2 < 0

no tiene solución. Es imposible encontrar un número real cuyo cuadrado sea negativo, ya que

cualquier número real al cuadrado es un número positivo o cero.

Resolver una inecuación es calcular el conjunto formado por todas sus soluciones.
Ejemplo 3: a) La inecuación x3 ≥ 8 tiene por solución cualquier número real mayor o igual que 2.
b) La inecuación 3x + 4 ≤16 tiene por solución S = (-∞, 4].

Dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Ejemplo 4:
a) Las inecuaciones 3x + 4 ≤ 16 y 3x ≤ 12 son equivalentes, ya que ambas tienen por solución S = (-∞, 4].
b) Las inecuaciones x3 ≤ 1000 y x3 < 1000 no son equivalentes, ya que x = 10 es solución de la primera inecuación, pero no
lo es de la segunda.

Operaciones condesigualdades
Para resolver las inecuaciones, es necesario operar con desigualdades. A continuación, se enumeran
propiedades que verifican algunas operaciones y que permiten obtener inecuaciones equivalentes a
la inicial.
• Si se suma un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, la desigualdad se
mantiene.
a>b ⇒ a+c>b+c
• Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un númeropositivo, la desigualdad
se mantiene y si el número es negativo, la desigualdad cambia de sentido.
a > b y c > 0 ⇒ c.a > c.b
a > b y c < 0 ⇒ c.a < c.b

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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, EsperanzaMinguillón, Trinidad Zabal

• Si ambos miembros de la desigualdad son positivos, al elevarlos al cuadrado la desigualdad se
mantiene.
a > b > 0 ⇒ a2 > b2
• Si ambos miembros de la desigualdad tienen el mismo signo, los inversos de dichos términos
1
1
<
verifican la desigualdad contraria.
a>b>0 o 0>a>b ⇒
b
a

INECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Las inecuaciones polinómicas sonaquellas equivalentes a una inecuación cuyo primer término es
un polinomio y el segundo es cero. Así, una inecuación polinómica de grado n se puede escribir
de la forma:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 > 0 donde an, a n-1, ... , a0 son los coeficientes del polinomio y an ≠ 0.
Ejemplo 5:
a)

4x - 5 < x - 8 es una inecuación polinómica de grado 1

b)

9x2 - 5x ≤ 8 es una inecuaciónpolinómica de grado 2

c)

1 - x6 > 7 + 2x es una inecuación polinómica de grado 6

d)

Las siguientes inecuaciones no son polinómicas:

4x < 5 x ,

3x - 5senx ≥ 8,

7 - 9x2 <

1
x

Inecuaciones polinómicas de primer grado
Estas inecuaciones se pueden escribir de la forma ax + b > 0, con a ≠ 0.
Para resolverlas se pasan todos los términos con x a un miembro y los que no tienen x...