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Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las
ecuaciones diferenciales
José Salvador Cánovas Peña
8 de enero de 2008

Índice General
1 Transformada de Laplace

5

1.1 Funciones continuas a trozos. Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Definición de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Definición y primeros ejemplos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Dominio de definición de la Transformada de Laplace . . . . . . . . .

8

1.3 Propiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2

Transformada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

11

1.3.3

Transformada de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.4

Transformada de la convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.5

Primer Teorema de Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.6

Segundo Teorema de Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4 Propiedades de lafunción Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.1

Derivabilidad de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2

Teoremas del valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.3

Teorema del valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5 Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

19

1.5.1

Inyectividad de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5.2

Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.3

Fórmula de inversión compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 Aplicaciones

23

2.1 Una primera aproximación al problema . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

23

2.2 Uso de la convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4 Problemas con funciones discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5 Funciones de impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

i

Índice general
2.6 Una aplicación concreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Funciones de transferencia. Estabilidad y control de sistemas eléctricos . . .

ii

29
30

Introducción
Vamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicación a la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales concoeficientes constantes.
Estas ecuaciones surgen de manera natural en el contexto de los circuitos eléctricos.
Consideremos por ejemplo el típico circuito LRC de la figura

donde la inductancia L, la resistencia R y la capacidad de condensador C se consideran
constantes. Se tiene entonces que la carga q(t) que circula por el circuito está dada por la
ecuación
Lq 00 (t) + Rq0 (t) + q (t)/C = V (t),
ydado que la intensidad I (t) es la derivada de la carga, ésta puede calcularse por la ecuación
Zt
0
I (s)ds/C = V (t),
LI (t) + RI (t) +
0

o equivalentemente con la ecuación diferencial
LI 00 (t) + RI 0 (t) + I (t)/C = V 0 (t),
en el caso en que V (t) sea una función derivable.
1

Introducción
De forma similar, si tenemos un circuito con varias ramas y más elementos, como porejemplo

podemos deducir a partir de las leyes de Kirchoff que las intensidades que circulan por los
hilos eléctricos del circuito vienen dadas por
⎧
⎪ 0 = I1 − I2 − I3 ,
⎨
0
0
V 0 (t) = I1 R1 + I1 /C1 + I2 R2 ,
⎪
⎩
0
00
0 = −I2 R2 + I3 L + I3 /C2 ,
Si suponemos los elementos del circuito constantes, salvo a lo mejor el voltaje V (t), que
supondremos una función derivable, tenemos un...