Básico

ÍNDICE : • Introducción • Número factorial • Variaciones • Permutaciones • Combinaciones • Números combinatorios • Triángulo de Tartáglia • Binómio de Newton Introducción : La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación o agrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas . Una forma de hacer estos recuentos es utilizar losdiagramas en árbol . Estos recuentos están intimamente relacionados con la probabilidad . Número factorial : es el producto de nos consecutivos naturales n! = (n)·(n−1)·(n−2)·.........3·2·1 Todo producto tiene al menos dos factores , luego debemos admitir que 0! = 1 y que 1! = 1 Variaciones ordinarias : Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n ( n m ) a los distintosgrupos formados por n elementos de forma que : • los n elementos que forman el grupo son distintos ( no se repiten ) • Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados ( influye el orden ) . Vm,n =

Variaciones con repetición : se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de maneraque : • los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos • Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que estos están colocados ( influye el orden ) . VRm,n = mn Permutaciones ordinarias : se llama permutaciones de m elementos a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que : • en cada grupo intervienen los m elementos sin repetirseninguno (intevienen todos los elementos ) • dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos m elementos es distinto ( influye el orden ) .

1

Pm = m! Permutaciones con repetición : se llama permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercer c .......... a los distintos qrupos que pueden formarse con esos melementos de forma que : • intervienen todos los elementos • dos grupos se diferencian en el orden de colocación de alguno de sus elementos . PRma,b,c... =

Combinaciones : se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n ( n m ) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que : • cada agrupación está formada por n elementos distrintos entre sí • dosagrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento , sin tener en cuenta el orden . Cm,n = = = número combinatorio Combinaciones con repetición : se llama combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n , a los distintos grupos formados por n elementos de manera que : • los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos • dos agrupaciones distintas se diferencianal menos en un elemento , sin tener en cuenta el orden . CRm,n =

Por ejemplo las combinaciones con repetición de los elementos (a,b,c,d) tomados de dos en dos son : aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd Otro ejemplo : en una bodega hay 12 botellas de ron , 12 de ginebra y 12 de anís .Un cliente compró 8 botellas en total . ¿Cuántas posibilidades hay ? CR8,3 = 120 Resumen : 2

Intervienen todos loselementos Permutaciones Influye el orden Variaciones No intervienen todos los elementos No influye el orden Combinaciones Números combinatorios : se llama número combinatorio de índice m y orden n al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n tales que n m.

=

Propiedades : • = =1 • =

• + = • + +................+

3

=

Triángulo de Tartaglia o Pascal :

1 4

11121 1331 14641 Binomio de Newton : (a + b) = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 ........................................... Si nos fijamos atentamente , los coeficientes coinciden con los del triángulo de Pascal , los exponentes de a van disminuyendo desde n hasta 0 y los de b van aumentando desde 0 hasta n , y en cada término...