Cálculo matricial de estructuras

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ

( LECCIÓN )

CONCEPTOS E HIPÓTESIS BÁSICAS

COMPORTAMIENTO LINEAL: COMPORTAMIENTO LINEAL: DE LA ESTRUCTURA Y MATERIALES DE LA ESTRUCTURA Y MATERIALES

MOVIMIENTOS PEQUEÑOS MOVIMIENTOS PEQUEÑOS COMPARADOS CON LAS DIMENSIONES DE LA COMPARADOS CON LAS DIMENSIONES DE LA ESTRUCTURA ESTRUCTURA

SE DESPRECIAN LOS FENÓMENOSSE DESPRECIAN LOS FENÓMENOS QUE AFECTAN Y VARÍAN LA RIGIDEZ. QUE AFECTAN Y VARÍAN LA RIGIDEZ.

MATERIALES HOMOGÉNEOS E ISÓTROPOS MATERIALES HOMOGÉNEOS E ISÓTROPOS

RELACIONES FUNDAMENTALES
DEL

CÁLCULO ESTRUCTURAL

1ª RF.

LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO. (  F=0,  M=0).

Dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección, nudo, barra, conjunto, y con las cargas exteriores.

2ªRF.

LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE MOVIMIENTOS.

Entre los elementos de la estructura y con las condiciones de contorno; así, por ejemplo; en uniones rígidas tendremos los ángulos y movimientos solidarios; en uniones articuladas tan solo los movimientos serán solidarios.

3ª RF.

LA LEY DE COMPORTAMIENTO.

Que relaciona las tensiones con las deformaciones (leyes de Hooke, ecuacionesde Lamé,...).

MÉTODO DE LA RIGIDEZ



MÉTODO DE EQUILIBRIO

Fi

i

)i, i

i

i )i ,  i
Fi Ri = = = =

Ri

vector desplazamientos y giros de nudos. vectores esfuerzos y deformación de barras. vector cargas externas. vector de ligaduras liberadas (internas y externas).

Compatibilidad.

 i = f 1(
i)
Comportamiento.

) i = f 3(
i)

) i = f 2( i)

$Equilibrio. (R i,F i) = f 4( ) i)

$

(R i,F i) = f 5(
i) <

< f 5(
i ) = (R i,F i) = (F i, valor conocido ) 
i, R i   i  ) i

COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD

P P=K·

M 

[1]

M=K·

[3]

P 1
= ---- = ---- · P = a · P K K

[2]

M 1  = ---- = ---- · M = a · M K K

[4]

Si en [1] o [3] hacemos el alargamiento o giro, respectivamente, unidad:=1 P=K =1 M=K

<

<

RIGIDEZ RIGIDEZ
Fuerza oopar, que aparece ante un alargamiento oogiro unitario Fuerza par, que aparece ante un alargamiento giro unitario
Si en [2] o [4] hacemos la fuerza o momento, respectivamente, unidad:
=a M=1 =a P=1

<

<

FLEXIBILIDAD FLEXIBILIDAD
Alargamiento oogiro producido por una fuerza oopar unidad Alargamiento giro producido por una fuerza parunidad

COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD

3 2 1 1 F=K·u
u=A·F

6 5 4 2

K = matriz de rigidez. A = matriz de flexibilidad.

El coeficiente de rigidez, krs, que relaciona las coordenadas “r” y “s”, es la fuerza que aparece en la coordenada “r” al dar un movimiento exclusivo y unitario en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos los demás (us=1; uj=0 para j C s). Elcoeficiente de flexibilidad, ars, que relaciona las coordenadas“r” y “s”, es el movimiento que aparece en la coordenada “r” debido a una fuerza exclusiva y unitaria en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos los demás (Fs=1; Fj=0 para j C s).

Fr = krs 1 # u 1 + krs 2 # u 2 + krs 3 # u 3 + ... + krs i # u i, Matricialmente.
F1 F2 F3 F4 F5 F6 k11 k21 = k31 k41 k51 k12 k22 k23 k42 k52 k13 k23 k33 k43k53 k14 k24 k34 k44 k54 k15 k25 k35 k45 k55 k16 k26 k36 k46 k56 u1 u2 u3 u4 u5 u6

·

k61 k62 k63 k64 k65 k66

[F]=[K]·[]

SISTEMAS DE COORDENADAS; DISCRETIZACIÓN
Sistema de referencia Es un sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura (coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc).

2

L

3

N L
L L
5

1

G
DISCRETIZACIÓN

4Proceso de disociar la estructura en elementos (unidos en los nodos)
Sistema local
En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local, al que referiremos los movimientos y fuerzas de cada barra.

Sistema global
Puesto que en el proceso de discretización de la estructura se ha supuesto ésta formada por un conjunto de elementos y nodos, será preciso definir un sistema...