Cálculo numérico

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
Tarea Cálculo Numérico
Para Ingeniería Civil Metalúrgica

Eleazar Escanilla Avendaño
Sergio Moreira Rojas


09/05/2014



1.- Exprese la siguiente ecuación diferencial de segundo orden como un par de ecuaciones de primer orden:



y (1) = ½, y´(1) = - ½ en x=1

Aproxime la solución usando RH44 en el punto x=1.2 con una iteración.

Compruebe sila solución exacta es . Si lo es, determine el error cometido.

Sean:





(1)


(2)


(3)

(4)


Solución:

Realizando un cambio de variable para simplificar a una EDO de primer orden:



De la ecuación original , se obtiene por despeje :



Solo 1 iteración y mediante las condiciones indicadas, , ,
De la ecuación , se obtiene el vector :

Para


(5)Ahora se deben obtener las funciones vectoriales, según lo indicado en el enunciado:

Según ecuación 1:





Evaluando la función con los valores:





Según ecuación 2:

Reemplazando con los valores de las variables y función correspondiente:


Evaluando en

Reemplazando con los valores de las variables y función correspondiente





Según ecuación 4:



Evaluandoen

Reemplazando con los valores de las variables y función correspondiente





Según ecuación 4:


Evaluando en



Reemplazando , , y en (1), se obtiene:



Para comprobar si la solución es exacta y que pertenece a la EDO, se obtiene los valores de e



Reemplazando en la E.D.O.:




Satisface la EDO, luego Reemplazando condiciones iniciales dadas: y (1) = ½,y’(1) = - ½ en x= 1, se obtiene:


(6)
Como , se obtiene:

(3)

Reemplazando (3) en (2):



Se comprueba que la solución esexacta.

Error cometido

Se calcula el error mediante norma || ||:


2.- Use diferencias avanzadas en el tiempo y centradas en el espacio.

Solo discretize las E.D.P.

a)

b)

c)

Solución:


a)



Despejando el tiempo más avanzado :



Ordenando términos, según orden en el espacio, desde el más retrasado al más avanzado en el lado izquierdo:



Discretizandoen el espacio (i)

Para i=1:


Para i=2



Para i=3



Realizando el avance en el tiempo, con j=0

Para i=1, j=0:



Para i=2, j=0:



Para i=3, j=0:


b)

Reemplazando con aproximaciones utilizadas (avanzadas en el tiempo y centradas en el espacio)



Despejando el tiempo más avanzado :






Discretizando en el espacio:

Para i=1:



Para i=2:Para i=3:




Avance en el tiempo, con j=0

Para i=1, j=0:



Para i=2, j=0:



Para i=3, j=0:



c)

Reemplazando con aproximaciones utilizadas (avanzadas en el tiempo y centradas en el espacio)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Reemplazando las ecuaciones (1), (2) y (3) en la EDP, se tiene:





Despejando el tiempo másavanzado :





Factorizando por cada nodo para dejar la expresión:



3.- Considere el Problema con Valores de Contorno: Aproxime en



a) Use diferencias centradas en el espacio y avanzada en el tiempo: Aproxime en t=0.2 con dos iteraciones.
b) Repita idem a) con método implícito.
c) Repita idem a) con método de Crank-Nicolson.

Solución:
a)

Utilizando diferenciascentradas en el espacio y avanzada en el tiempo, se reemplaza en la EDP:



Se definen las particiones de las variables:


(1)

(2)





(3)

Con los valores de (1) y (2) y reemplazando en (3) se obtiene:



(4)

Rangueando en la ecuación (4) con


Por condiciones de borde:



(5)

Con
(6)

Con


Por condiciones de...