Calculo numerico

´ ´ METODOS NUMERICOS, EXAMEN FINAL
INGENIER´ TECNICA INDUSTRIAL IA ´ 9 DE SEPTIEMBRE DE 2008 16:30H-20:30H

Ejercicio 1. Para resolver la siguiente ecuaci´n no lineal o x2 − x − 2 = 0 se considera la iteraci´n de punto fijo x = g(x) con g(x) = x − µ(x2 − x − 2), µ ∈ R, µ = 0. o Comprobad que x = 2 es un punto fijo de g. Estudiad para qu´ valores del par´metro µ el punto e a fijo x = 2 esatractor. Analizad tambi´n en estos casos el orden de convergencia local del m´todo. e e (2,5 ptos) Soluci´n: o x = 2 es un punto fijo de g pues g(2) = 2 − µ(4 − 2 − 2) = 2. Para que x = 2 sea un punto fijo atractor se debe satisfacer que |g (2)| < 1. g (x) = 1 − µ(2x − 1) → g (2) = 1 − µ(4 − 1) = 1 − 3µ. |g (2)| < 1 ⇐⇒ |1 − 3µ| < 1 ⇐⇒ −1 < 1 − 3µ < 1 2 ⇐⇒ 0 < µ < . 3
2 As´ el punto fijo x = 2 ser´atractor para 0 < µ < 3 . ı a 2 1 1 e Para µ = 3 , g (x) = 0 y por tanto si 0 < µ < 3 , µ = 3 entonces el m´todo tiene orden de 1 convergencia local lineal p = 1. Para µ = 3 tenemos que g(2) = 2, g (2) = 0, g (2) = − 2 = 0 y 3 el orden de convergencia local ser´ cuadr´tico p = 2. a a

Ejercicio 2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales 10x + 5y = 3 x − 6y = 1
1 a) Realizad dos iteracionesdel m´todo de relajaci´n con w = 4 empezando con el iterado e o inicial (x0 , y0 ) = (0, 0). b) Determinad la matriz del m´todo y calculad su radio espectral. e c) ¿ Es el m´todo te´ricamente convergente? e o

(2,5 ptos) Soluci´n: o a) El m´todo consiste en hacer e xk+1 = w( yk+1 3 − 5yk ) + (1 − w)xk , 10 1 − xk+1 ) + (1 − w)yk , = w( −6

que con w =

1 4

queda xk+1 =

3 5 3 + xk − yk ,40 4 40 1 3 1 yk+1 = − + xk+1 + yk , 24 24 4 Partiendo de (x0 , y0 ) = (0, 0) conseguimos • Primera iteraci´n: o 3 = 0,075, 40 1 1 3 37 y1 = − + =− ≈ −0,03854167. 24 24 40 960 • Segunda iteraci´n: o x1 = 5 37 3 3 5225 3 − + = ≈ 0,13606771, 40 40 960 4 40 38400 1 1 5225 3 −37 59815 y2 = − + + =− ≈ −0,06490343. 24 24 38400 4 960 921600 1 b) M = w D − L, N = 1−w D + U , E = M −1 N con w x2 = D= 10 00 −6 , L= 0 0 −1 0 − , U= = , 0 −5 0 0 30 −5 0 −18 30 −5 0 −18 . 0 −5 0 0 40 0 1 −24 , ,

M = 4D − L =

40 0 0 −24 M −1 = − 1 960

0 0 −1 0 −24 0 −1 40 +

N=

1−
1 4

1 4

D + U = 3D + U = E = M −1 N = −

30 0 0 −18

=

,

1 −24 0 −1 40 960 El radio espectral de E viene dado por

ρ(E) = max{|λ| : λ valor propio de E} Para calcular los valores propios de E resolvemos |E −λI| = 0, −λ 3 − 96 Nos queda la ecuaci´n o | que tiene por soluciones λ1 ≈ 0,80995006, λ2 ≈ 0,68484160, y entonces
72 96 715 960 12 − 96 −λ

|=(

72 715 36 − λ)( − λ) − 2 = 0. 96 960 96

λ2 −

51120 1435 λ+ =0 960 92160

ρ(E) = m´x{|λ1 |, |λ2 |} ≈ 0,80995006 < 1. a c) El m´todo de relajaci´n ser´ convergente ya que ρ(E) < 1 como hemos visto en el e o a apartado anterior. Para estesistema tambi´n es posible aplicar el teorema que dice e Teorema: Si la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales es estrictamente diagonal domina y 0 < w ≤ 1 el m´todo de relajaci´n es convergente. e o En nuestro caso w = 1 y la matriz es estrictamente diagonal dominante por filas ya 4 que |10| > |5| y | − 6| > |1|. Ejercicio 3. Construid el polinomio interpolador de Hermite quesatisface p(0) = 0, p (0) = 1, p(1) = 1, y p (1) = −1. (2,5 ptos) Soluci´n: o Buscamos el polinomio interpolador de Hermite de grado 3 que satisface p3 (0) = f (0) = 0, p3 (0) = f (0) = 1, p3 (1) = f (1) = 1, y p3 (1) = f (1) = −1. LLamando x0 = 0 y x1 = 1 formamos la tabla de diferencias divididas generalizadas x0 x0 x1 x1 f (x0 ) f [x0 , x0 ] f [x0 , x0 , x1 ] f [x0 , x0 , x1 , x1 ] f (x0 ) f [x0 , x1 ]f [x0 , x1 , x1 ] f (x1 ) f [x1 , x1 ] f (x1 )

Haciendo los c´lculos necesarios reescribimos la tabla como a 0 0 1 1 0 1 0 −2 0 1 −2 1 −1 1

La primera fila nos sirve para dar la expresi´n del polinomio interpolador o p3 (x) = f (x0 ) + f [x0 , x0 ](x − x0 ) + f [x0 , x0 , x1 ](x − x0 )2 + f [x0 , x0 , x1 , x1 ](x − x0 )2 (x − x1 ), que sustituyendo valores nos da p3 (x) = x − 2x2 (x − 1)....