C1 C2 C4_2001_pauta

Pauta Certamen 4 - Algebra - 2001
1.

Problema 1

Considere el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2 con producto
interior definido por
1

f (t)g(t)dt.
0

Sean los polinomios

1.1.

f (t) = 2, g(t) = 3t − 2.

Ejercicio a)

Calcule < f, g >, ||f || y ||g||.
Soluci´
on: Para < f, g >, considerando el producto interior en el enunciado, tenemos que:
1

1

3t−2dt = 2·2·(3t−2)dt = 2

< f, g >=< 2, 3t−2 >=

0

0

3 2
t − 2t
2

1

= 2·
0

3
−2
2

= −1

Para ||f ||, por definici´on de la norma inducida:
1

||f || =

< f, f > =

1

2 · 2dt =

< 2, 2 > =

4

0

1dt =

4 · t|10 =

√
4·1=2

0

Para ||g||, por definici´on de la norma inducida:
||g|| =

√

1

< g, g > =

0

3t3 − 6t2 +

1.2.

4t|10

=1

Ejercicio b)

Determine un conjunto ortonormal a partir de f y g.

1

1

(3t− 2)2 dt =

< 3t − 2, 3t − 2 > =

9t2 − 12t + 4dt =
0

Soluci´
on: Para definir un conjunto ortonormal a partir de los polinomios dados, es decir, con
el conjunto {f, g}, se debe cumplir lo siguiente:
1.f y g deben ser ortogonales, es decir, < f, g >= 0.
2.||f || = ||g|| = 1
1. Sabemos que f y g no son ortogonales dado que < f, g >= −1 = 0 por lo tanto, ocupando el
proceso de ortogonalizaci´on deGram-Schmidt (falta comprobar que el conjunto es l.i (tarea)):
v1 = x1 = f = 2
1

1

< x2 , vi >
< g, vi >
v2 = x2 −
vi = g −
vi = 3t − 2 −
2
||vi ||
||vi ||2
i=1
i=1
< 3t − 2, v1 >
< 3t − 2, 2 >
v1 = 3t − 2 −
·2
2
||v1 ||
||2||2

1

i=1

< 3t − 2, vi >
vi = 3t − 2 −
||vi ||2

Con lo obtenido en a):
v2 = 3t − 2 −

1
3
−1
· 2 = 3t − 2 + = 3t −
2
2
2
2

Por lo tanto el conjunto

2, 3t −

3
2

esortogonal.

2. Por lo obtenido en a), sabemos que ||v1 || = ||f || = 2, normalizamos a v1 de la siguiente
manera:
2
v1
= =1
||v1 ||
2
Ahora, dado que nuestro segundo vector v2 no es igual al segundo del conjunto original x2 ,
tendremos que calcular nuevamente la norma:
3
3
< 3t − , 3t − > =
2
2
√
9 9
3
3
3− + =
=
2 4
4
2

1

||v2 || =

0

3
(3t − )2 dt =
2

1
0

9
9t2 − 9t + dt =
4

Normalizamos v2 dela siguiente manera:
3t − 23
3t −
v2
=
= √
3
3
||v2 ||
||3t − 2 ||
2

3
2

√
√
6
3
= √ t − √ = 2 3t − 3
3
3

√
√
Por lo tanto el conjunto ortonormal a partir de f y g es = {1, 2 3t − 3}
2

9
9
3t3 − t2 + t
2
4

1

=
0

2.

Problema 2

Considere la transformaci´on lineal T : R3 → R3 cuya matriz asociada respecto de la base
can´onica es:


0 1 −2
[T ] = 1 1 1 
1 2 −1

2.1.

Ejercicio a)Determine T (x, y, z)
Soluci´
on: A

0 1

[T ] = 1 1
1 2

partir de la matriz asociada dada obtenemos la siguiente comparaci´on:

−2
1  = [T (1, 0, 0)]Bc [T (0, 1, 0)]Bc [T (0, 0, 1)]Bc
−1

De aqui obtenemos que:
 
0

[T (1, 0, 0)]Bc = 1 <=> T (1, 0, 0) = 0 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1) = (0, 1, 1)
1
 
1

[T (0, 1, 0)]Bc = 1 <=> T (0, 1, 0) = 1 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 2· (0, 0, 1) = (1, 1, 2)
2
 
−2
[T (0, 0, 1)]Bc =  1  <=> T (0, 0, 1) = −2 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) − 1 · (0, 0, 1) = (−2, 1, −1)
−1
Entonces: T (x, y, z) = T (x, 0, 0) + T (0, y, 0) + T (0, 0, z) = x · T (1, 0, 0) + y · T (0, 1, 0) + z ·
T (0, 0, 1) = x · (0, 1, 1) + y · (1, 1, 2) + z · (−2, 1, −1) = (y − 2z, x + y + z, x + 2y − z)
Por lo tanto, T (x, y, z) = (y − 2z, x + y + z, x + 2y − z)2.2.

Ejercicio b)

Caracterice los elementos de Ker(T ) y de Im(T )
3

Soluci´
on: Usando la definici´on del kernel de una aplicaci´on lineal:
Ker(T ) = {(x, y, z) ∈ R3 : T (x, y, z) = θR3 } = {(x, y, z) ∈ R3 : (y − 2z, x + y + z, x + 2y − z) =
(0, 0, 0)}
Obtenemos los siguientes resultados:
y − 2z = 0
x+y+z =0
x + 2y − z = 0
Resolviendo el sistema obtenemos que x = −3z, y = 2z, entonces:
Ker(T) = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −3z, y = 2z}
Usando la definici´on de la imagen de una aplicaci´on lineal:
Im(T ) = {(a, b, c) ∈ R3 : T (x, y, z) = (a, b, c), (x, y, z) ∈ R3 } = {(a, b, c) ∈ R3 : (y − 2z, x +
y + z, x + 2y − z) = (a, b, c).(x, y, z) ∈ R3 }
Obtenemos los siguientes resultados:
y − 2z = a
x+y+z =b
x + 2y − z = c
Resolviendolo con la matriz asociada al sistema:






0 1 −2...