Ca lculo diferencial e integr al NOVENA EDICIO N

Cálculo diferencial e integral

NOVENA EDICIÓN

Purcell

Varberg

Rigdon

FORMAS HIPERBÓLICAS
L

78

L

81

L

84

L

87

L

90

senh u du = cosh u + C

79

coth u du = ln ƒ senh u ƒ + C

82

1
u
senh 2u + C
4
2

senh2 u du =

85

coth2 u du = u - coth u + C

88

sech u tanh u du = -sech u + C

91

L

L

L

L

L

cosh u du = senh u + C

80

sech u du = tan-1 ƒ senh u ƒ + C

83

1
u
senh 2u +
+C
4
2

cosh2 u du =

86

sech2 u du = tanh u + C

89

L

L

L

L

tanh u du = ln(cosh u) + C
csch u du = ln 2 tanh

u2
+ C
2

tanh2 u du = u - tanh u + C
csch2 u du = -coth u + C

csc u coth u du = -csch u + C

FORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAS
92.

L

u(au + b)-1 du =

94

L

u(au + b)n du =

u(au + b)n + 1
a(n + 1)

-

L

93

(au + b)n + 2
a2(n + 1)(n + 2)

u(au + b)-2 du =

+ C

1
a2

si n Z - 1, -2cln^ ƒ au + b ƒ +

b
d + C
au + b

1
du
u
+ (2n - 3)
b si n Z 1
a
2
2a2(n - 1) (a2 Ϯ u2)n - 1
(a
Ϯ
u2)n - 1
L
2
(3au - 2b)(au + b)3/2 + C
u 2au + b du =
2
15a
L
2
aun(au + b)3/2 - nb un - 1 2au + b dub
un 2au + b du =
a(2n + 3)
L
L
2
2 n
L (a Ϯ u )

du

95
96
97

L 2au + b
u du

98
100a
101

u
b
- 2 ln ƒ au + b ƒ + C
a
a

=

2

=

2

3a

L u 2au + b
du

L un 2au + b
du

=

=

(au - 2b)
1

ln 22b
2au
-

2au

2au
2au
+ b

b(n - 1)un - 1

+ b + b +
-

2b 2
2b

un du

L 2au + b

99

+ b + C

+ C

si b 7 0 100b

(2n - 3)a
du
(2n - 2)b L un - 1 au + b
2

=

2
un - 1 du
a un 3au + b - nb
b
a(2n + 1)
L 2au + b

L u 2au + b
du

si n Z 1

=

2

2-b

tan-1

A

au + b
+ C
-b

si b 6 0

du
u - a
a2
u - a
u - a
sen-1
+ C 103
+ C
2au - u2 +
= sen-1
2
2
2
a
a
L u 22au - u2
L
n-1
2 3/2
u (2au - u )
(2n +1)a
104
un 22au - u2 du = +
un - 1 22au - u2 du
n
+
2
n + 2 L
L
2
(2n - 1)a
un du
un - 1 du
un - 1
22au - u du = 2au - u2 + a sen-1 u - a + C
105
106
= 2au - u2 +
2
2
n
n
u
a
L
L 2au - ug2
L 22au - u2
102

107
108
109
110

22au

L

2
22au
u

- u2 du =

- u2

n

L un 22au - u2
du

L

(2au - u2)3/2

du =

n

(3 - 2n)au

=

22au

a(1 - 2n)un

( 22au - u2)n du =

L ( 22au - u )
du

2 n

L0

q`

=

-u2

+
+

n - 3
(2n - 3)a L

22au
u

- u2

n-1

du

n - 1
du
(2n - 1)a L un - 1 2au - u2
2

u - a
na2
(2au - u2)n/2 +
( 2au - u2)n - 2 du
n + 1
n + 1L 2

u - a

(n - 2)a2

( 22au - u2)2 - n +

(n - 2)a2 L ( 22au - u2)n - 2
n - 3

du

q

INTEGRALES DEFINIDAS

1 p
2
e-au du =
(a 7 0)
2Aa
L0
1 – 3 – 5 – Á – (n - 1) p
si n es un entero par y n Ú 2
p/2
p/2
2–4–6– Á –n
2
n
113
senn u du =
cos u du = µ
2– 4 – 6 – Á – (n - 1)
L0
L0
si n es un entero impar y n Ú 3
3–5–7– Á –n
111

une - u du = Ω(n + 1) = n! (n Ú0)

112

1700

1600
Descartes
Newton

Leibniz
Euler

•

•

J. Kepler (1571-1630)

•

•

R. Descartes (1596-1650)

•

B. Pascal (1623-1662)

•

•
•

I. Newton (1642-1727)

•

•

G. Leibniz (1646-1716)

•

•

L’Hôpital (1661-1704)

•

J. Bernoulli (1667-1748)

•

L. Euler (1707-1783)

•

M.Agnesi (1718-1799)

•

Kepler
Pascal
L’Hôpital
Bernoulli

Contribuidores del Cálculo
[El cálculo es] el resultado de una dramática lucha
intelectual que ha durado los últimos veinticinco siglos.
—Richard Courant

1609

1637

Leyes de Kepler
del movimiento
planetario

1665

1696

Newton descubre
el cálculo
Geometría
analítica de
Descartes

1728

Euler introduce e

Primer texto de
cálculo (L’Hôpital)1800

1900

Otros contribuidores
Pierre de Fermat (1601-1665)
Michel Rolle (1652-1719)
Brook Taylor (1685-1731)
Colin Maclaurin (1698-1746)

Lagrange

Gauss

Thomas Simpson (1710-1761)
Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)
George Green (1793-1841)
George Gabriel Stokes (1819-1903)

Cauchy

Riemann

Lebesgue

•
•
•
•

J. Lagrange (1736-1813)

•

•
•

C. Gauss (1777-1855)

•

A. Cauchy (1789-1857)•

•

K. Weierstrass (1815-1897)

•

G. Riemann (1826-1866)

•

•
•

J. Gibbs (1839-1903)

•

S. Kovalevsky (1850-1891)

•

•
H. Lebesgue (1875-1941)

Agnesi

Weierstrass

1756

Lagrange inicia
su Mécanique
analytique

1799

1821

Gauss demuestra
el teorema
fundamental
del álgebra Noción precisa de
límite (Cauchy)

1854

Kovalevsky
1873

Integral de
Riemann

Gibbs
1902

Integral de
Lebesgue
e...