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TEMA 1

ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 1°Parcial – Anual 2012

1. Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: si es F,
alcanza con que de un contraejemplo; si es V proporcione un argumento basado en las herramientas
teóricas que conoce.
x − cos 2 x
posee asíntota vertical pero no oblicuas ni horizontales.
a. La función definida por g ( x) =x
Solución: FALSO.
Comenzamos por analizar la existencia de asíntota vertical, se estudiará en el valor de x que anula el
x − cos 2 x
 cos 2 x 
lim g ( x) =
lim
=
lim 1 −
∞ límites laterales
denominador, Dom g ( x) R − {0} .
=
=
x →0
x →0
x →0
x
x 

son infinitos con distinto signo. En consecuencia, la ecuación de la recta asíntota vertical es x = 0.

lim
Paracalcular la asíntota oblicua, analizamos la existencia de lim g ( x) =
x →∞

x →∞

x − cos 2 x
lim
=
x →∞
x

 cos 2 x 
1
1 −
=
x 


ya que el 2° término es el producto de un infinitésimo y una función acotada. Por lo tanto, la función posee
asíntota horizontal de ecuación y = 1 en ambas direcciones. No admite asíntotas oblicuas.


1
2
 x + x . sen  
b. La función h(x) = 
x
0


si x ≠ 0

no es de clase C1 en todo su dominio.

si x = 0

Solución: VERDADERA
Para analizar si la función dada es de clase C1 en todo su dominio, es preciso estudiar la continuidad de su
función derivada primera.
Para cualquier x ≠ 0 es posible hallar la función derivada empleando las reglas de derivación habituales, es decir:
1
1  1 
1
1
h′( x) =  + x 2 .cos   .  − 2  =   − cos   con x ≠ 0 . En el punto x = 0
1 + 2 x.sen
1 + 2 x.sen
x
x  x 
x
x
es preciso emplear la definición de derivada,

1
x + x 2 .sen   − 0
h( x) − h(0)

 1 
 x
lim
lim
lim
1 pues
=
=1 − x.sen    = el 2° término es el
h′(0) =
x →0
x →0
x →0
x−0
x
 x 

producto de un infinitésimo y una función acotada. Deesta forma, resulta:


1
1
1 + 2 x.sen   − cos  
h′( x) = 
x
x

1


si x ≠ 0

Una vez obtenida la función derivada primera, se procede a

si x = 0

analizar su continuidad en x = 0 ya que en cualquier otro punto donde es válida la fórmula del primer tramo, la
función h′ es continua ya que se trata de suma, resta, productos y cociente de funciones continuas. Porello,
veamos qué sucede en x = 0:


1
1
lim h′( x) =1 + 2 x.sen   − cos    , este límite no existe ya que
lim 
x →0
x →0
x
x


1
∃ lim cos   , en consecuencia h′ es discontinua en x = 0. Así, h no es de clase C1 en x = 0, y por tanto
/
x →0
x
no lo es en todo su dominio.

2. Calcule los siguientes límites, sin emplear el Teorema del L´Hospital:
tg ( 2− x − 1 )
tg ( 2 − x + 1)
tg ( 3 − x )
tg ( 3 − x ) 1
lim
lim
lim −
.
a. lim
=
=
=
=
2
2
x →3
x →3
x →3 ( x − 3)( x + 1)
x →3
(3 − x) x + 1
x − 2x − 3
x − 2x − 3
tg ( 3 − x ) 1
1
.
= =
− lim
−
x →3
(3 − x) x + 1
4
3 x2

3 x2

3 x2

3 x2

 x2 + 1 
 x2 + 1 −1 + 1 
 x2 −1 + 1 + 1 
2 

b. lim = lim 
= lim 
= lim 1 + 2 
=
 2 


2
2
x→+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
 x −1 
 x −1 
 x −1 
 x −1 



1 
lim
= 1 + 2

x →+∞
x −1 



2 


3x

2




1 
lim
= 1 + 2

x →+∞
x −1 



2 


x 2 −1 2
.
.3 x 2
2 x 2 −1






1 
lim
=  1 + 2

x →+∞
x −1 



2 



x 2 −1
2









6 x2
x 2 −1

= e6

3. a. Empleando lasreglas de derivación, determine la función derivada primera correspondiente a la


 1

función definida por g ( x) ln  arc tg 
=
+π 3 
 3x


3
− 

1
1
x 2 
.
. −
g ′( x)
2 
 1

2 3

+ π 3  1+  1 + π 3  
arc tg 




 3x

 3x

b. Si f : [ 2, 4] → R / f ( x) = x x , calcule

ln f ( x) = ln x x ⇒ ln f ( x) = x.ln x ⇒

( f −1=...