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Propiedades de la Transformada de Laplace
W. Colmenares
Universidad Simo´n Bol´ıvar, Departamento de Procesos y Sistemas

Resumen
En estos apuntes demostramos algunas de las propiedades de latransformada de Laplace y hacemos algunos ejemplos de su aplicaci´on.

1. Definici´on de la transformada de Laplace
Uno de los elementos importantes cuando se habla de la Transformada de Laplace esdefinir claramente de cu´al de ellas se est´a hablando. Las propiedades y, sobre todo, las aplicaciones dependen de ello.
Existen dos tipos de transformadas, la bilateral y la unilateral. Estau´ltima se usa, casi exclusivamente, para el an´alisis de sistemas lineales e invariantes en el tiempo, en la que es particularmente u´til, y es a la que nos referiremos en estas notas.
Otro elementoimportante, cuando trabajamos con la transformada unilateral es que, en general, las sen˜ales de entrada a los sistemas son sen˜ales que son cero para t < 0.
La definici´on de la Transformada de Laplaceunilateral es:

donde s = σ + jω, σ es una constante (que puedo elegir para hacer que la integral de Laplace converja) y ω es la variable de transformaci´on.
Preprint submitted to PS2315 24 de juniode 2008
1.1. Algunos ejemplos de transformada
Calculemos la transformada de Laplace de una exponencial que comienza en t = 0 (x(t) = eatu(t)).
.
Observe que no hemos colocado ninguna restricci´onen el valor de a y, en particular, podr´ıa asumir valores reales positivos, negativos, valores complejos o ser simplemente cero.
Como corolario, es inmediato que la transformada de Laplace delescal´on u(t) es (a = 0):

Apliquemos ahora el resultado anterior al calculo de la transformada del coseno que comienza en t = 0 (x(t) = cos(ωt)u(t)) Recordemos que por la identidad de Euler:

entonces.
Es f´acil derivar la del seno recordando la identidad de Euler:

lo que resulta en:
.
Observe que hemos usado la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, que au´n no hemos...