caida libre

Uno de los grandes aportes que hay en la Física, es sin duda alguna el que realizó el científico Galileo Galilei que demostró que en todos los cuerpos la aceleración de la gravedad, es igual sin importar su peso, en otras palabras, todos los cuerpos caen al mismo tiempo sin importar su peso.
él explica que si dos cuerpos de diferente peso caían desde el vacío en donde no hay aire, ambos caeríanal mismo tiempo. No obstante, Galileo no contaba con un vacío pero pudo imaginar uno. Él dibujo un cuerpo pesado atado a un cuerpo ligero y dedujo que éste cuerpo compuesto caerían más rápido que el cuerpo pesado solo, y que el cuerpo ligero no podía retardar su caída sino que caía con más velocidad.

Caída libre totalmente vertical[editar]
El movimiento del cuerpo en caída libre es verticalcon velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la velocidad aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:
(1)
-mg + f = ma_y \,
donde:
a_y, v_y\;, son la aceleración y la velocidad verticales.f\;, es la fuerza de rozamiento fluidodinámico (que aumenta con la velocidad).
Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:
\begin{matrix}v_y(t)= v_0 - gt \\
y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2
\end{matrix}
donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de caída.
Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluidodinámica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo laconstante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico kw:
(2)
-mg - k_wv_y = ma_y \,
En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):
\begin{cases}
v_y = v_0e^{-k_wt/m} + \cfrac{mg}{k_w}(e^{-k_wt/m}-1) \\
y = h_0 - \cfrac{mgt}{k_w}+m\left(\cfrac{mg+k_wv_0}{k_w^2}\right)(e^{-k_wt/m}-1)\end{cases}
Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:

v_\infty = \lim_{t\to \infty} v_y(t) = -\frac{mg}{k_w}
Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objetoque cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:
(3)ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - \epsilon\frac{C_d}{2}\rho A_tv_y^2
Donde:
C_d\;, es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.
A_t\;, es el área transversal a la dirección del movimiento.
\rho\;, es la densidad del fluido.
\epsilon =\mathrm{sgn}(v_y)\;, es el signo de la velocidad.
La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):
v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A_t}}
La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno quecae. La solución de velocidades para ambos casos es:
\begin{cases} v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} +\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & \epsilon > 0\\
v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tanh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} -\mbox{arctanh}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & \epsilon \le 0
\end{cases}
Donde: \alpha = C_d\rho A_t/2m\;....