Cal Int Uni 4 Series

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS
DIVISIÓN DE INGENIERÍA PETROLERA

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD 4 SERIES
PRESENTA:

ACUA HERNANDEZ JOSE ANDRES
AVALOS ESPINOSA AGUSTIN
DE LA CRUZ GONZALEZ JONATHAN
GONZALEZ ANGULO FRANCISCO
GUTIERREZ OROZCO VICTOR HUGO
MONTERRUBIO HERNANDEZ RICARDO
PEREZ JIMENEZ MIGUEL ANGEL
RICARDEZ JIMENEZ MAURICIO



SEMESTRE Y GRUPO:
2 º “A”


FACILITADOR:
ING.OMAR ÁLVAREZ ANTONIO


COATZACOALCOS, VERACRUZ FEBRERO - JUNIO 2015
INTRODUCCIÓN




ÍNDICE
4.1 Definición de serie 4
4.1.1 Serie Infinita 4
4.1.2 Serie Finita 5
4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de la razón (criterio de D’Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy) 5
Criterio de D'Alembert 6
Criterio de Cauchy 6
4.3 Serie de potencias 7
4.4 Radio de convergencia 7
4.5 Serie deTaylor 8
4.6. Representación de funciones mediante la serie de Taylor 9
4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. 10
Ejemplos 13
Bibliografía 16





4.1 Definición de serie

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Por ejemplo, 1,4,9,16,25

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anterioresobtenemos la serie:
1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o series finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie de llama sucesión infinita.
El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

4.1.1 Serie Infinita


Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor deabsolutamente todos los números naturales.
Son series de la forma S an (x - x0)n ; los s números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series queconvergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

Teorema:
Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

4.1.2 Serie Finita


Sucesión de números tales que la proporción entrecualquier término (que no sea el primero)
y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

4.2Serie numérica y convergencia. Prueba de la razón (criterio de D’Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy)


Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, yexactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.
Criterio de D'Alembert

Sea una serie  , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe


con , el Criterio de D'Alembert establece que:
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre elcomportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo

Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de...