Calculo 1

Matemáticas avanzadas I

Matemáticas
avanzadas I
Tema 4
Geometría del espacio segunda
parte

Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:

•

Identificar la ecuación de cilindros y superficies
cuadráticas.

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Introducción al tema
En este tema sedefinirá la ecuación de un cilindro y de
otras superficies cuadráticas en el espacio tridimensional,
estás te serán de utilidad en los temas de integrales que
verás en el módulo 4.
Estas superficies las has visto en tu vida
diaria, desde un tinaco, la forma de una
antena parabólica, los silos utilizados
para almacenar granos y las chimeneas
de algunas fábricas, entre otros
ejemplos más.D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO

Cilindros
Para definir un cilindro, considera el ya conocido cilindro
circular recto. Te puedes imaginar que este cilindro es
generado por una recta vertical que se mueve alrededor
del círculo que se encuentra en el plano xy. A este círculo
se le llama curva directriz (o curva generadora).

Para fines educativoshttp://www.planetamatematico.com/index.php?option=co
m_content&task=view&id=565&Itemid=1
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Cilindros
La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son
paralelas a uno de los ejes coordenados contiene sólo las
variables correspondientes a los otros dos ejes.

x2  y 2  a2

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Cilindros
La ecuaciónrepresenta un círculo de radio 1 en el plano z
= k, la superficie.
Z

y
X

= 1

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Superficies cuadráticas
La ecuación general de las superficies cuadráticas en el
espacio es una ecuación de segundo grado de la forma:

Ax 2  By 2  Cz 2  Dxy  Exz  Fyz  Gx  Hy  Iz  J  0
Dela forma anterior al tener algunas de las constantes
igualadas a cero, nos generan la ecuación de las
diferentes superficies cuadráticas tales como: elipsoide,
hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono
elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.

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Superficies cuadráticas
La traza de la superficie se refiere al plano que atraviesala superficie:

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Superficies cuadráticas
Elipsoide

x2 y2 z2


1
a2 b2 c2
Traza

Plano

Elipse

Paralelo al plano xy

Elipse

Paralelo al plano xz

Elipse

Paralelo al plano yz

La superficie es una esfera si a = b = c ≠ 0

D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIOSuperficies cuadráticas
Elipsoide

Para fines educativos
http://mapserver.inegi.gob.mx/geografia/espanol/nor
matividad/infgeodesia/coordgeod.gif

Para fines educativos
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/SUPERIOR/t2-Funciones-devariasvariables/6superficiescuadraticas/index.html

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Matemáticas avanzadas ISuperficies cuadráticas
Hiperboloide de una hoja

x2 y2 z2


1
a2 b2 c2

Traza

Plano

Elipse

Paralelo al plano xy

Hipérbola

Paralelo al plano xz

Hipérbola

Paralelo al plano yx

El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo
coeficiente es negativo.
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Superficies cuadráticas
Hiperboloide de una hoja

Para fines educativoshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-devariasvariables/6-superficiescuadraticas/index.html

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Superficies cuadráticas
Hiperboloide de dos hojas

z2 x2 y2


1
c2 a2 b2

Traza

Plano

Elipse

Paralelo al plano xy

Hipérbola

Paralelo al plano xz...