Calculo avanzado

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
CÁLCULO AVANZADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE
MG. SC. ING. MOISES ARTEAGA

CAP. 1
VECTORES Y GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO

Vectores.- Es un segmento orientado con una determinada dirección y sentido


* A
Tamaño
* Direccion
* θ
Sentido

Existendos formas de representar un vector
Forma Ordenada A (a1,a2,a3)
a1,a2,a3 ϵ R ⇒ R3
Forma Vectorial
z

î =(1, 0, 0)
ĵ =(0, 1, 0)k ̂
k ̂ =(0, 0, 1)

y

î
ĵ
A = a1 î + a2 ĵ + a3 k ̂

x

Operaciones
Producto Escalar.- Sea un vector v = (v1 ,v2 ,v3) y un escalar k ϵ Rk v = (kv1 , kv2 ,kv3)

v = v1 î + v2 ĵ + v3 k^ ⇒ k V = kv1 î +k v2 ĵ + kv3 k^
Suma y/o diferencia.- Sea u = (u1 ,u2 ,u3) y v =(v1 ,v2 ,v3) ϵ R3

u ± v =( u1 ± v1,u2 ± v2,u3 ± v3)
Propiedadesi) u + v= v + u
ii) (u + v ) + w = u + (v + w)
iii) u + θ = u ⇒ θ = (0,0,0)
iv) u +(- u ) = θ ⇒ - u = (-u1 , -u2 , -u3)
v) k(u + v) = ku + kv
u
Gráficamente u ͞ + v ͞

v + u
v


Productos entre vectores
Producto Escalar
u ∘ v = i=1nuiviu ∘ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + ……………………………..+ unvn
Otra definición
u ∘ v = u v cosθ
Magnitud o Modulo.- Es el tamaño de un vector, simbolizado:
u= u12+ u22+ u32

Angulo entre vectores
cosθ=u ∘ vu v
CasosEspeciales
i) θ = 0° ⇒ u ∘ vu v = 1 “Vectores paralelos y del mismo sentido”
ii) θ = 90° ⇒ u ∘ vu v = 0 “Vectores ortogonales o perpendiculares”
iii) θ = 180° ⇒ u ∘ vu v = -1 “Vectores paralelos y de sentido contrario”
Propiedades
i) u ∘ u= u2
ii) u ∘ v= v ∘ u
iii) u ∘ v± w= u ∘ v ± u ∘ w
Producto Vectorial.-Sean los vectores u = (u1 ,u2 ,u3) y v =(v1 ,v2 ,v3)

u × v = iu1v1ju2v2ku3v3
u × v= (u2v3-u3v2 , u3v1-u1v3 , u1v2-u2v1)
Es un vector perpendicular a los dos vectores que lo forman “Regla de la Mano ç
Derecha”
u × v

u
v
v × u
v
u


Otra definición:u × v= uv sinθ
Representa el area de un triangulo
Gráficamente
v
u
θ

h
Por Trigonometria
sinθ= hvh = sinθv

Area de un paralelogramo =b x h
A = sinθvu
A = u × v
El area del triangulo es la mitad del area del paralelogramo, teniendo:
AT = 12 A...