Calculo De Vol Menes Coordenadas Cilindricas

Calculo de volúmenes empleando
Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas sirven para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.












El origen del sistema es el punto en el que todas las tres coordenadas se pueden dar como cero. Esta es la intersección entre el plano de referencia yel eje.

El eje se llama eje cilíndrico o longitudinal, para diferenciarlo de el eje polar, que es el rayo que se encuentra en el plano de referencia, comenzando en el origen y que apunta en la dirección de referencia.
La distancia desde el eje puede ser llamado la distancia radial o radio, mientras que la coordenada angular se conoce como la posición angular.

Un punto  en coordenadas cilíndricasse representa por (ρ,φ,), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto  al eje , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano 
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje  la proyección del radiovector sobre el plano .
: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .

Los rangosde variación de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.














ρ es siempre una cantidad positiva

A diferencia de las distancias en cartesianas, que tienenun signo indicando a qué lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilíndrica es siempre positiva.
Si nos encontramos en un punto y, sin cambiar  ni , vamos reduciendo ρ lo que hacemos es acercarnos al eje  en línea recta. ¿Qué ocurre cuando atravesamos el eje? Que a partir de ahí  vuelve a aumentar, pero cambia a  o a .









Conversion de rectangulares a cilíndricas

Para pasar derectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.
Cilíndricas a rectangulares.
X = r cos ө, y = r sen ө, z = z
Rectangulares a cilindricas:
R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z.








El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.

Ejemplo 1:
Expresar en coordenadasrectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).
Solución:


Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos.
X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2 (√3).
Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2
Z = 3

Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( √ 3, 2, 2).




Ejemplo 2:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares seespecifican a continuación:
x2 + y2 =4z2
y2 = x

Solución a)

Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono <> con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas.
x2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares.
r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas.

Solución b)

La superficie y2 = x es un cilindroparabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos:
y2 = x ecuación rectangular.
r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө.
r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar
r sen2 ө –cos ө = 0 dividir los dos mienbros por r
r =cos ө / sen2 ө despejar r
r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas.

Nótese que esta ecuación incluye unpunto con r = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.



Ejemplo 3:
Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas:
r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0
Solución:
r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 ecuación en cilíndricas
r2 (cos2ө – sen2 ө) + z2 = 0 identidad trigonometrica.
r2 cos2 ө – r2 sen2 ө +z2 = -1
X2 – y2 +z2 = -1...

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