coordenadas cilindricas

Coordenadas polares
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia, ampliamente utilizados en física y geometría analítica.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar(equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ creceen sentido anti horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».



FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo  sobre el eje x, y su distancia r al centro decoordenadas, se tiene:


Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
 (aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para  = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
Para  ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debelimitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente):


Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:




EJEMPLOS NUMERICOS
Cuando se conoce el módulo del vector  =  y el ángulo α queforma con el eje OX, las coordenadas de P son:
x = || · cos α
y = || · sen α




Coordenada x
x = || · cos α
Coordenada y
y = || · sen α




Ejemplos
Pasar a coordenadas cartesianas:
2120º



10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = −(0, −1)

Paso de coordenadas cartesianas a polares
Módulo

Argumento o ángulo


Ejemplos
Pasar a coordenadaspolares:



260º



2120º



2240º



COORDENADAS ESFERICAS
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ yel azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90º a 90º (de -π/2 a π/2radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).





FORMULAS DE TRANSFORMACION

Esféricas a rectangulares:
X =p sen Фcos ө, y= p sen Ф sen ө, z = p cos Ф.


Rectangulares a esféricas:
P2= x2 + y2 + z2, tg ө=y/x, Ф= arcos (z/√ x2 + y2 +z2).

Para cambiar de coordenadas esféricas a cilíndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes:

Esféricas a cilíndricas (r > 0):
r2 =p2 sen2 Ф, ө = ө, z = p cosФ.

Cilíndricas a esféricas (r> 0):
P= √r2 + z2, ө = ө,Ф = arcos (z / √r2 + z2).

Las coordenadas esféricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetría.





EJEMPLOS NUMÉRICOS
Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.

a).- cono: x2 + y2 = z2

b).- esfera: -4z = 0

Solución:
a).-haciendo las...