Calculo de volumenes

Métodos para el cálculo de volumen

Una aplicación importante de la integral definida, es su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional, en este caso, un tipo particular: lossólidos de revolución. Este tipo de sólidos, suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos en revolución: Ejes, embudos, pilares y botellas.

El métodode discos: para calcular el volumen de un solido en revolución por el método de discos, se puede usar una de las siguientes formulas:

Eje Horizontal de la Revolución
V= π ∫_a^b▒[R(X)]^2 □(24&dx)Eje Vertical de la Revolución
V= π ∫_c^d▒[R(y)]^2 □(24&dy)

Se puede determinar la variable de integración, colocando un rectángulo representativo en la región plana o perpendicular al eje derevolución. Si la anchura del rectángulo es Δx, se integra con respecto a x, y si la anchura del rectángulo es Δy, integramos con respecto a y.

(FIGURA 7.14)

La aplicación más simple del métodode discos utiliza una región plana limitada por la gráfica de f y el eje x. Si el eje de revolución es el eje x, entonces es radio R(x) es simplemente f(x).

Ejemplo 1
Volumen del solido formadoal girar la región limitada por la gráfica de f(x)=√(sin⁡x ) y el eje de x ( 0 ≤ x ≤ π ) alrededor del eje x.
Solución: El radio de este solido viene dado por R(x)=f(x)= √(sin⁡x )
Y se sigue que suvolumen es:
V= π ∫_a^b▒[R(X)]^2 □(24&dx) = π ∫_0^π▒[√(sin⁡x )]^2 □(24&dx)
= π ∫_0^π▒sin⁡x □(24&dx)
= - π cos⁡x]□(π/0)
= π(1+1) = 2

(FIG 7.15)
Ejemplo 2
Volumen del solidoformado al girar la región limitada por f(x) = 2 – x^2 y g(x) = 1 alrededor de la línea y=1
Solución:
Puntos de corte de f y g:

2 – x^2 = 1
x^2 = 1
x = ±1

Para calcular el radio, se restag(x) de f(x) (FIG 7.16)
R(x) = f(x) – g(x) = (2 – x^2 ) – 1 = 1 – x^2

Para hallar el volumen se integra entre -1 y 1

V= π ∫_a^b▒[R(X)]^2 □(24&dx) = V = π ∫_(-1)^1▒[1-x^2 ]^2 □(24&dx)...