Calculo de volumenes por arandelas

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE TLAHUAC

MATEMATICAS II

CALCULO DE VOLUMENES POR METODO DE ARANDELAS

ING. MECATRONICA
25 / MAYO / 2010

METODODE LA ARANDELA.

ESTE MÉTODO CONSISTE EN HALLAR EL VOLUMEN DE UN SÓLIDO GENERADO AL GIRAR UNA REGIÓN R QUE SE ENCUENTRA ENTRE DOS CURVAS COMO SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE FIGURA:
SÍ LA REGIÓN QUEGIRAMOS PARA FORMAR UN SÓLIDO NO TOCA O NO CRUZA EL EJE DE ROTACIÓN, EL SÓLIDO GENERADO TENDRÁ UN HUECO O AGUJERO. LAS SECCIONES TRANSVERSALES QUE TAMBIÉN SON PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN SONARANDELAS EN LUGAR DE DISCOS. (ES POR ESTO EL NOMBRE DEL MÉTODO). LO ANTERIOR LO PODEMOS APRECIAR EL LA FIGURA DE ABAJO.

SÍ LA REGIÓN QUE GIRAMOS PARA FORMAR UN SÓLIDO NO TOCA O NO CRUZA EL EJE DEROTACIÓN, EL SÓLIDO GENERADO TENDRÁ UN HUECO O AGUJERO. LAS SECCIONES TRANSVERSALES QUE TAMBIÉN SON PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN SON ARANDELAS EN LUGAR DE DISCOS. (ES POR ESTO EL NOMBRE DELMÉTODO). LO ANTERIOR LO PODEMOS APRECIAR EL LA FIGURA DE ABAJO.

AHORA HALLEMOS LAS DIMENSIONES DE LA ARANDELA (RADIO EXTERIOR R Y RADIO INTERIOR R) USANDO LA FIGURA ANTERIOR.
EL RADIO EXTERIOR (RADIO MÁSGRANDE) LO DETERMINA LA FUNCIÓN Y EL RADIO INTERIOR (RADIO MÁS PEQUEÑO) LO DETERMINA LA FUNCIÓN . HALLAMOS EL ÁREA DE LA ARANDELA ASÍ:
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AHORA PODEMOS ESTABLECER LA SIGUIENTE DEFINICIÓN:DEFINICIÓN: EL VOLUMEN DEL SÓLIDO GENERADO AL GIRAR LA REGIÓN R SOBRE EL EJE X( O ALGÚN EJE PARALELO A ÉL) VIENE DADO POR:

SÍ EL EJE DE ROTACIÓN ES EL EJE Y (O UN EJE PARALELO A EL) TIENE UNAEXPRESIÓN ANÁLOGA A LA ANTERIOR. LUEGO PODEMOS VER QUE

ES UNA EXPRESIÓN VÁLIDA QUE EVALÚA EL VOLUMEN DE UN SÓLIDO GENERADO AL GIRAR UNA REGIÓN R SOBRE EL EJE Y (O ALGÚN EJE PARALELO A ÉL) CON c ≤ y≤ d.

EJERCICIOS
1- CALCULAR EL VOLUMEN DE DICHO SÓLIDO SE CALCULA EL RADIO DEL CÍRCULO QUE SE ENGENDRA EN EL CENTRO Y ADEMÁS EL DEL DISCO TOTAL, ESTA SERÁ LA BASE DE NUESTRO CILINDRO, POR LO...
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