Calculo Diferecial Y Integral

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA Nº 9 (Ultima modificación 30 de octubre de 2003)

INTEGRALES CURVILINEAS, DE SUPERFICIE Y DE VOLUMEN

Solo consideraremos el caso de integrales curvilíneas a lo largo de curvas planas. Es decir curvas continuas que consisten en un número finito de arcos en cada uno de los cuales la tangente varía continuamente.
Sea z = f(x,y) una función y C unacurva continua, que une los puntos A y B (z= f(x,y) no tiene ninguna relación con la ecuación de la curva C y no es más que una función definida en cada punto de la porción de la curva C que se considera).

Divídase el arco de C entre A y B en “n” segmentos si cuyas proyecciones sobre los ejes x e y son respectivamente xi ; yi y sean (i, i) las coordenadas de un punto cualquiera delsegmento si.
Realizamos ahora los siguientes productos: f(i, i) . xi ; f(i, i) . yi ; f(i, i) . si y hacemos las sumas para todas las subdivisiones del arco AB, luego tendremos

Los límites de estas sumas cuando cada si ; xi ; yi tienden a cero, se llaman integrales curvilíneas y se escriben respectivamente:
En estas definiciones, xi ; yi son valores con signo, en tantosi es intrínsecamente positivo.
Las siguientes propiedades:

siendo C = constante




Son igualmente válidas para las integrales curvilíneas de los dos primeros tipos, siempre que para cada fórmula la curva que une A con B siga siendo la misma.

Por otra parte las integrales del tercer tipo, si bien tienen las propiedades a) y b) no tienen la c) ya que en efecto
Además lapropiedad d) vale para estas integrales sí y solo sí, P está entre A y B sobre el camino de integración.
Las integrales definidas ordinarias del cálculo elemental no son más que integrales curvilíneas en que la curva C es el eje x , y el integrando es una función de x solamente.

INTERPRETACION GRAFICA

Como en el caso de las integrales ordinarias, es posible interpretar una integral curvilíneacomo área. Si se piensa que z = f(x,y) define en el espacio una superficie. La superficie vertical que tiene por directriz el arco AB cortará a la superficie z = f(x,y) según una cierta curva PQ.




El producto f(i, i) . si es aproximadamente el área de la banda vertical de esta porción de superficie que se encuentra sobre la base elemental si ; y la suma es aproximadamenteigual al área ABQP y en el límite la integral C f(x,y).ds , da está área exactamente.

De manera análoga, el producto f(i, i) . xi es aproximadamente el área de la proyección sobre el plano xz de la faja vertical de base si , y la suma para i= 1 a n representa el área aproximada de esta proyección A'B'Q'P' sobre el plano xz, y la C f(x,y) dx , da esta área.

De igual modo se puederepresentar el área de la proyección de ABQP sobre el plano yz mediante la C f(x,y).dy.


EJEMPLO


Calcular las integrales curvilíneas de la función z = f(x,y) = x + y + 1 sobre el camino dado por y = x entre los puntos A(1; 1) y B(3; 3).
Como la función f(x,y) = x + y + 1 representa un plano, la proyección del camino de integración y = x sobre este plano nos representa la recta PQ, con loque nos queda formado el trapecio ABQP cuyas proyecciones sobre los planos xz e yz también representarán dos trapecios.




Calculando las áreas de estos dos trapecios serán

Calculemos ahora aplicando el concepto de integral curvilínea.

Esta integral la podemos calcular tanto para x como para y.
ya que dx=dy por ser x=y luego

resultado que concuerda con los quehabíamos calculado anteriormente.

EXTENSION A FUNCIONES DE TRES VARIABLES

Los conceptos vistos anteriormente son fácilmente generalizados para funciones de tres variables. Sea u = f(x,y,z) una función continua y sea C una curva continua que une los puntos A y B en el espacio.
Dividamos el arco AB en “n” subintervalos si cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son xi ; yi ; zi y Pi...