Calculo Diferencial

El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.
Una noción estrechamente relacionada es la dediferencial. En el estudio del cambio de una función cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es laprincipal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasade cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x.
La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.
Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es encada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
La rectatangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a lafunción localmente en el punto de tangencia que consideremos.
Si conocemos la ecuación de la recta tangente ta(x) a la función f(x) en el punto "a" podemos tomar ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del punto "a". Esto quiere decir que si tomamos un punto "a + h" y lo evaluamos tanto en la función como en la recta tangente, la diferencia f(a + h) − t(a + h) serádespreciable frente a "h" en valor absoluto si "h" tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto "a" tanto más precisa será nuestra aproximación de f(x).
Para una función f(x) derivable localmente en el punto "a", la recta tangente a f(x) por el punto "a" es:
ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a)
Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En particular, los puntos enel interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. La prueba de la primera derivada y la prueba de la segunda derivada permiten determinar silos puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno.
En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de...