calculo diferencial

















INTRODUCCION.


ESTE TRABAJO ES UNA RECOPILACION DE INFORMACION DE LOS TEMAS PRINCIPALES DE CALCULO DIFERENCIAL Y SUS APLICACIONES, DEL CUAL HABLAREMOS DE LOS TEMAS:
RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO
CURVAS ORTOGONALES
TEOREMA DE ROLLE Y LAGRAGE
FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE
MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION
CRITERIO DE LA 1RA DERIVADA PARAMAXIMOS Y MINIMOS
CRITERIO DE LA 2DA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS
ANALISIS DE VARIACION DE FUNCIONES
CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO DIFERENCIALES
PROBLEMAS DE OPTIMIZACION.





INDICE.




Recta tangente y normal a una curva en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . 4
Curvas Ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Teoremade ROLLE, Teorema de LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Función creciente y decreciente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Máximos y mínimos de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. . . . . . . . . .13
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos. . . . . . . . .14Análisis de la variación de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Calculo de aproximaciones usando diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . .16
Problemas de optimización y tazas relacionadas. . . . . . . . . . . . . . . . 19
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20




RECTA TANGENTE Y NORMAL AUNA CURVA EN UN PUNTO.

¿Qué significa decir que una recta es tangente a una curva en un punto?
Para un círculo, la recta tangente en un punto P es la recta perpendicular al
radio que pasa por P.

Podríamos afirmar que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla.

Si una función ( y = f x) posee una derivada en el punto x1 , la curva tiene unatangente en P( X1 , Y1) cuya pendiente es:

Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es:

Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva es:

Si m= 0 tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ∞ tiene tangente vertical a la curva.


Una recta normal a una curva en uno de suspuntos es la recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él.
La condición de perpendicular entre dos rectas es:

La ecuación de la recta normal en el punto es:










Ejemplos.

Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal de las siguientes curvas en el punto indicado.




















Curvas ortogonales
Una tangentea una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.
Diferentes soluciones se pueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquiercurva y = g(x) en los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g‘(x1),es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.
La ecuación requerida para esta tangente se puede encontrar en la ecuación de la recta y-y1 = m (x - x1).
Así, la ecuación de la tangente en x1, y1 se puede dar como y - y1 = g (x1) (x - x1).
Ahorabien, dado que respecto ala normalla tangente es perpendicular , su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente así como la pendiente de dos rectas perpendiculares son recíprocas negativas una dela otra.
Por tanto, la pendiente de la normal a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 es −1/g’(x1), donde g’(x1) ≠ 0.
Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva es dada...