calculo diferencial

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OBJETIVO 1.1
LA RECTA NUMÉRICA

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de larecta y un número real1.
USO DE LA RECTA NUMÉRICA
Los números reales pueden ser representados gráficamente en la recta numérica. Imagine la recta numérica, también llamada recta real, como una gran autopista de alta velocidad densamente transitada por vehículos de dos colores: unos amarillos (números racionales) y otros de color café (números irracionales). En esta autopista hay un punto dereferencia, situado en el centro, conocido como el punto cero, 0. Los vehículos amarillos y cafés, se encuentran tanto a la izquierda como a la derecha del cero. Aparentemente hay un caos, a tal grado que los conductores deben permanecer estáticos; sin embargo cada conductor sabe exactamente el lugar que le corresponde a su vehículo en la autopista. Un hecho curioso: el controlador de la autopistahabía registrado la entrada de millones y millones de vehículos amarillos; sin embargo, en un recorrido realizado en helicóptero, la autopista se ve pintada de café. Esto es, a pesar de que han entrado muchísimos vehículos amarillos, éstos comparados con los de color café, quedan opacados. Es necesario aclarar, que por cada color de vehículo, los hay de diferentes modelos aunque, hay que decirlo,algunos de los modelos incluyen el de otros (subconjuntos)2.

Representación de números racionales en la recta numérica3.
Recordemos que el conjunto de los números enteros se denota por y se define de la manera siguiente:


Podemos representar los números enteros como puntos de una recta de la manera siguiente:



El segmento de recta comprendido entre dos números enteros consecutivos sellama "segmento unidad".

De manera similar, recordemos que el conjunto de los números racionales se denota por Q y se define de la manera siguiente:

Q = { / a Є Z, b Є Z, b ≠ 0}
Debido a que si a Є Z, b Є Z, b > 0, entonces se cumple que ; se conviene en representar los números racionales preferentemente por medio de fracciones en las cuales el denominador es un número entero positivo.Recordemos además que si a Є Z, b Є Z, b > 0, el número racional se puede considerar como el cociente que se obtiene al dividir a por b; en donde b indica el número de partes en que se divide la unidad y a el número de partes que se toman.

De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números racionales cuyarepresentación fraccionaria tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 1
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

3
,
7
,
-
1
y
-
5
2

2


2


2
Solución:



De igual manera, si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representaciónfraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:
4
,
8
,
-
2
y
-
7
,





























3

3


3


3
































Solución:


Generalizando el procedimiento descrito anteriormentese puede representar cualquier número racional en la recta numérica.

Nota: También se pueden representar los números racionales en la recta numérica, considerando su expansión decimal y ubicándolos en forma aproximada en la recta numérica, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 3
Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.
7
,
34
,
-
9
y
-
17
9...